В прошлом посту я показал, что на самом деле, в природе, нет никакой связи между периметром и площадью фигуры. В качестве примера была снежинка Коха. Вроде пример надуманный - и всё это просто игры математиков. А вот нифига. В природе эти фракталы встречаются почти везде.

Самый популярный и наглядный пример природного фрактала - лист папоротника
Самый популярный и наглядный пример природного фрактала - лист папоротника

Глядя на фотку выше математик Майкл Брансли решил описать его математически (делать ему больше нечего что ли?) и, у него получилось(более-менее точно):

Один в один же папоротник
Один в один же папоротник

Та же береговая линия острова. Чем точнее будем вычислять периметр острова тем тоскливее нам будет (периметр таких фракталов обычно стремится к бесконечности).

Но у фракталов есть ещё одна характеристика - размерность.

Например у математической (а не ручкой поставленной) точки размерность равна нулю, у линии - единице, у плоскости двойке, у куба - тройке, а вот у сферы снова двойке (это Вам для разминки мозгов), в то время как у шара - привычная тройка.
Т.е. на линии мы можем взять точку отсчёта и обозначить положение на линии одной координатой, на плоскости уже двумя, у куба - три(ширина, высота и длина) и т.д.

А что же с размерностью у фракталов?

Думали-думали и придумали. Решилм использовать фрактальную размерность. Её начали использовать для определения сложных объектов (не обязательно бесконечных фракталов). Фообще слово фрактал (fractured) в математике означает "дробное". Определили енту величину как меру сложности подобных структур. Как оценить енту меру-то? Ведь математикам нужно конкретное число, а не то что один сказал - "просто", второй "сложно", третий "пойдёт"... Решили, что на определённом массштабе определяется количество отдельных элементов и как это число меняется при уменьшении массштаба.

Математически выглядит так:

  • D — фрактальная размерность, показатель сложности и структуры объекта;
  • log(N) — логарифм числа элементов, необходимых для покрытия фрактала. По мере уменьшения масштаба размер элементов уменьшается, а их количество увеличивается;
  • log(S) — логарифм обратного масштаба (размера элементов). Чем меньше элемент, тем больше их требуется для покрытия всей структуры.

А формула простое соотношение D=log(N) / log(S).

Для той же снежинки Коха

GIF
Сначала просто, а потом просто красиво

Снежинка строится на отрезке, который делится на три равные части, затем на средней части создается «пик» в форме равностороннего треугольника без основания. В результате каждый исходный отрезок заменяется на 4 меньших, и так далее.
Получаем, что S = 3, N = 4, а размерность log(4) / log(3) ≈1.261859507...

Вот такие чудеса, вомбатяне, оказывается имеются и дробные размерности, причём в самой природе.