Доказав, как отдельные молекулы создают сложное движение жидкостей, три математика объяснили, почему время не может течь вспять.
На рубеже XX века известный математик Давид Гильберт вознамерился привнести в мир физики более строгий математический подход. В то время физики всё ещё были охвачены спорами о базовых определениях — что такое тепло? Как устроены молекулы? — и Гильберт надеялся, что формальная логика математики сможет помочь в этом.
Утром 8 августа 1900 года он представил Международному конгрессу математиков список из 23 ключевых математических задач. Номер шесть: предоставить неопровержимые доказательства законов физики.
Масштаб шестой проблемы Гильберта был огромен. Он предлагал «трактовать таким же образом [как и геометрию], посредством аксиом, те физические науки, в которых математика играет важную роль».
Его задача аксиоматизировать физику была «на самом деле программой», сказал Дэйв Левермор , математик из Мэрилендского университета. «В том виде, в котором шестая проблема сформулирована, она никогда не будет решена».
Но Гильберт дал отправную точку. Для изучения различных свойств газа, например, скорости его молекул или средней температуры, физики используют разные уравнения. В частности, они используют один набор уравнений для описания движения отдельных молекул в газе, а другой – для описания поведения газа в целом. Возможно ли, задавался вопросом Гильберт, показать, что один набор уравнений подразумевает другой – что эти уравнения, как предполагали физики, но не доказали строго, просто разными способами моделируют одну и ту же реальность?
В течение 125 лет даже аксиоматизация этого небольшого раздела физики казалась невозможной. Математики добились частичного прогресса, предложив доказательства, которые работали только при рассмотрении поведения газов на чрезвычайно коротких временных интервалах или в других вымышленных ситуациях. Но они не соответствовали тому результату, который представлял себе Гильберт.
И вот теперь три математика наконец-то получили такой результат. Их работа не только представляет собой значительный шаг вперёд в программе Гильберта, но и затрагивает вопросы о необратимости времени.
«Это прекрасная работа», — сказал Грегори Фалькович , физик из Института Вейцмана. «Проявление выдающейся силы».
Рассмотрим газ, частицы которого сильно разбросаны. Физик может смоделировать его множеством способов.
На микроскопическом уровне газ состоит из отдельных молекул, которые ведут себя подобно бильярдным шарам, двигаясь в пространстве согласно законам движения Исаака Ньютона, открытым 350 лет назад. Эта модель поведения газа называется системой частиц типа «твёрдой сферы».
Теперь немного уменьшите масштаб. В этом новом «мезоскопическом» масштабе ваше поле зрения охватывает слишком много молекул, чтобы отслеживать каждую по отдельности. Вместо этого вы будете моделировать газ, используя уравнение, разработанное физиками Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом в конце XIX века. Это уравнение, называемое уравнением Больцмана, описывает вероятное поведение молекул газа, показывая, сколько частиц можно ожидать обнаружить в разных местах, движущихся с разными скоростями. Эта модель газа позволяет физикам изучать движение воздуха в малых масштабах — например, как он может обтекать космический челнок .
«Математики делают с физиками то, что они будят нас».
Уменьшите масштаб, и вы больше не сможете определить, состоит ли газ из отдельных частиц. Он ведёт себя как единое непрерывное вещество. Для моделирования этого макроскопического поведения — плотности газа и скорости его движения в любой точке пространства — вам понадобится ещё один набор уравнений, называемых уравнениями Навье-Стокса.
Физики считают эти три различные модели поведения газа совместимыми; они просто представляют собой разные подходы к пониманию одного и того же явления. Но математики, надеясь внести свой вклад в решение шестой проблемы Гильберта, хотели строго это доказать. Им нужно было показать, что ньютоновская модель отдельных частиц приводит к статистическому описанию Больцмана, а уравнение Больцмана, в свою очередь, приводит к уравнениям Навье-Стокса.
Математики добились определённых успехов на втором этапе, доказав возможность вывести макроскопическую модель газа из мезоскопической в различных условиях. Но им не удалось решить первый этап, оставив логическую цепочку незавершённой.
Теперь всё изменилось. В серии работ математики Юй Дэн , Захер Хани и Сяо Ма доказали, что переход от микроскопического состояния к мезоскопическому для газа в одной из таких ситуаций — это более сложный процесс, впервые замкнувший цепочку . Результат и методы, которые сделали это возможным, «переворачивают парадигму», — сказал Янь Го из Университета Брауна.
Больцман уже смог показать, что законы движения Ньютона приводят к его мезоскопическому уравнению, при условии, что одно важнейшее предположение верно: частицы в газе движутся более или менее независимо друг от друга. То есть, столкновения одной пары молекул друг с другом должны быть крайне редкими.
Но Больцман не смог окончательно доказать истинность этого предположения. «Чего он, конечно, не мог сделать, так это доказать теоремы на эту тему», — сказал Серджо Симонелла из Университета Ла Сапиенца в Риме. «В то время не было ни структуры, ни инструментов».
В конце концов, существует бесконечное множество способов, которыми группа частиц может столкнуться и снова столкнуться. «Вы получаете просто колоссальный взрыв возможных направлений, в которых они могут двигаться», — сказал Левермор, — и это делает «кошмаром» возможность доказать, что сценарии с множеством повторных столкновений настолько редки, насколько это было нужно Больцману.
В 1975 году математику по имени Оскар Лэнфорд удалось доказать это , но только для чрезвычайно коротких промежутков времени. (Точное количество времени зависит от начального состояния газа, но, по словам Симонеллы, оно меньше, чем мгновение ока.) Затем доказательство перестало работать; прежде чем большинство частиц получили возможность столкнуться хотя бы один раз, Лэнфорд больше не мог гарантировать, что повторные столкновения останутся редким явлением.
В последующие десятилетия многие математики пытались расширить его результат, но безуспешно.
Затем, в ноябре 2023 года, Дэн, ныне работающий в Чикагском университете, и Хани из Мичиганского университета опубликовали препринт , в котором предлагалось долгожданное доказательство. Они написали, что готовящаяся к публикации статья будет основана на их последнем результате и позволит исследовать «долговременное обобщение теоремы Лэнфорда».
Другие математики не знали, как отреагировать на это заявление. «Я не думал, что это возможно», — сказал Пьер Жермен из Имперского колледжа Лондона. Дэн и Хани обычно не работали с системами частиц; до этого момента они в основном изучали системы, состоящие из волн (например, лучей света).
Поэтому математики с нетерпением ждали обещанного доказательства.
Когда частицы сталкиваются
Результат Дэнга и Хани, полученный в 2023 году, включал анализ перехода от микроскопического масштаба к мезоскопическому в контексте волн. Примерно за год до публикации своей статьи в интернете Дэнг присутствовал на конференции, где встретился с аспирантом Принстонского университета Сяо Ма. В итоге они обсудили работу Дэнга и Хани и то, как они могли бы адаптировать эти методы к частицам. Это позволило бы им расширить результат Лэнфорда — показать, что повторные столкновения частиц редки даже на более длительных временных интервалах.
Дэн и Хани уже обдумывали эту идею. Впечатлённый проницательностью Ма, Дэн пригласил его помочь им превратить интуицию в доказательство.
Трио надеялось сосредоточиться на хорошо изученном сценарии, в котором математики уже доказали второй шаг, переход от мезо-к-макро, в шестой проблеме Гильберта. В этом сценарии разреженный газ сферических частиц заключён в ящик. Если частица ударяется об одну из стенок ящика, она появляется на противоположной стенке.
Но чтобы доказать более сложный переход от микро- к мезо-частицам в этой ситуации и тем самым решить шестую проблему Гильберта, Дэну, Хани и Ма пришлось перенести свои волновые методы на случай частиц. Поэтому они начали с ситуации, где эта задача была бы немного проще. Они работали с газом, частицы которого случайным образом распределены в бесконечном пространстве; в отличие от частиц в замкнутом газе, которые постоянно отскакивают друг от друга, эти частицы в конечном итоге рассеиваются и перестают сталкиваться. «В случае всего пространства есть более короткий путь», — сказал Дэн.
Сначала трём математикам нужно было составить таблицу различных моделей столкновений, которые могли бы произойти в их газе, и оценить вероятность каждой из этих моделей. Они могли легко исключить сценарии с особенно высокой частотой повторных столкновений. Это оставило им для анализа конечное, хотя и огромное, число моделей, каждая из которых включала определённое подмножество частиц, сталкивающихся в определённом порядке. Определив точное значение каждой модели, они могли использовать эту информацию для оценки её вероятности.
Но это часто казалось невыполнимой задачей, поскольку многие закономерности включали огромное количество частиц и сложные косвенные взаимодействия между ними. «Структура этих множеств [сталкивающихся частиц] становится чрезвычайно сложной», — сказал Дэн. В принципе, математикам пришлось бы отслеживать каждую из этих частиц одновременно, чтобы вычислить необходимые им оценки вероятностей.
Именно здесь предыдущая работа Дэнга и Хани по изучению волн дала им важное понимание. В результате они нашли способы разбить сложные модели взаимодействующих волн на более простые. Они тщательно разработали свою методику, чтобы, работая лишь с несколькими волнами одновременно, всё равно получать точную оценку вероятности более сложной полной модели.
Они надеялись, что та же идея сработает и в случае частиц.
Но после столкновения частицы ведут себя совершенно иначе, чем волны. Например, частицы, в отличие от волн, отскакивают друг от друга, что существенно влияет на итоговую картину столкновений и вероятность их возникновения. Дэну, Хани и Ма пришлось с самого начала пересмотреть детали своей стратегии.
Сначала они рассмотрели простейшие случаи, в которых каждая частица сталкивается всего несколько раз за очень короткий промежуток времени, без повторных столкновений. Затем они постепенно перешли к более сложным случаям — более длительным периодам времени, с большим количеством столкновений и повторных столкновений.
Это было одновременно и искусством, и наукой. «Интуиция развивалась постепенно, начиная с нескольких неудачных попыток», — сказал Дэн. Им нужно было понять, как разбить большие и сложные схемы столкновений частиц на слои, чтобы упростить вычисления и при этом сохранить высокую точность оценок.
«Этот процесс занимает месяцы», — сказал Хани. «Мы постоянно застреваем». Почти каждый день они собирались на Zoom-встречу, чтобы обсудить всё. «К большому разочарованию моей жены, некоторые из них происходили очень поздно ночью или очень рано утром», — сказал Хани. «Я укладывал дочь спать, а потом мы два-три часа проводили встречи в Zoom».
Наконец, к весне 2024 года трио было уверено, что всё учтено. Их доказательство, опубликованное в интернете тем же летом, подтвердило, что повторные столкновения должны быть очень и очень редкими. Они показали, как и надеялись, что в их бесконечном пространстве описание газа Больцмана можно вывести из ньютоновского. Микроскопические и мезоскопические масштабы подпадали под единую строгую математическую модель.
«Я считаю, что это выдающаяся работа», — сказал Александру Ионеску , математик из Принстона, который также был научным руководителем Дэнга и Ма по докторской диссертации. «Это одни из самых значительных достижений за многие-многие годы».
Теперь они были готовы вернуться к модели «газа в коробке», где они наконец смогли решить шестую проблему Гильберта.
Им не потребовалось много времени, чтобы распространить свой результат с бесконечного пространства на ограниченное. «Восемьдесят процентов доказательства остаются теми же в случае всего пространства», — сказал Дэн.
В марте они опубликовали новую статью , в которой их доказательство было объединено с более ранними результатами, связывающими уравнение Больцмана с уравнениями Навье-Стокса. Логическая цепочка была замкнута: они показали, что для реалистичной модели газа микроскопическое описание отдельных частиц действительно в конечном итоге приводит к макроскопическому описанию крупномасштабного поведения газа.
Эта работа не только ознаменовала собой решение одного из основных случаев шестой проблемы Гильберта. Она также дала строгое математическое решение старого парадокса.
В микроскопическом масштабе, где частицы ведут себя подобно бильярдным шарам, время обратимо. Уравнения Ньютона предсказывают как происхождение частицы, так и её дальнейшее движение. Будущее принципиально не отличается от прошлого.
Но на мезоскопическом и макроскопическом уровнях возврата во времени нет. «Мы прекрасно знаем, что, двигаясь вперёд во времени, мы стареем, но не омолаживаемся; тепло не переходит самопроизвольно от холодного тела к тёплому; капля чернил в стакане воды растекается, темнея жидкость, но не возвращается самопроизвольно к своей первоначальной маленькой округлой форме», — писала Симонелла . Ни уравнение Больцмана, ни уравнения Навье-Стокса не являются обратимыми во времени; если попытаться повернуть время вспять, результаты будут бессмысленными.
Для современников Больцмана это было озадачивающим. Как можно было вывести необратимое во времени уравнение из обратимой во времени системы?
Но Больцман утверждал, что парадокса нет: даже если каждую частицу можно смоделировать обратимым во времени образом, почти каждое столкновение заканчивается рассеиванием газа. Вероятность того, что, например, газ внезапно сожмётся, практически равна нулю.
Лэнфорд математически подтвердил эту интуицию для своего очень короткого периода времени. Теперь результат Дэнга, Хани и Ма подтверждает её для более реалистичных ситуаций.
В дальнейшем математики, которые всё ещё изучают детали нового доказательства, хотят проверить, могут ли аналогичные методы быть полезны в других, ещё более реалистичных контекстах. Они могут включать газы, состоящие из частиц разной формы, или частицы, взаимодействующие более сложным образом.
Между тем, по словам Фальковича, подобные строгие доказательства могут помочь физикам понять, почему газ ведёт себя определённым образом в разных масштабах и почему разные модели могут быть более или менее эффективны в разных сценариях. «Математики делают с физиками, — сказал он, — они нас будят».
