Новое доказательство проливает свет на скрытые закономерности, которые проявляются, когда сложение становится невозможным.
Возьмём, к примеру, сложение. Это простая операция: одна из первых математических истин, которую мы узнаём, заключается в том, что 1 плюс 1 равно 2. Но у математиков до сих пор остаётся много вопросов без ответа о закономерностях, которые может порождать сложение. «Это одна из самых базовых вещей, которые вы можете сделать», — сказал Бенджамин Бедерт , аспирант Оксфордского университета. «Почему-то во многих отношениях это всё ещё очень загадочно».
Разгадывая эту загадку, математики также надеются понять пределы возможностей сложения. С начала XX века они изучают природу множеств, в которых никакие два числа не суммируются с третьим. Например, сложите любые два нечётных числа, и вы получите чётное число. Таким образом, множество нечётных чисел не суммируется.
В статье 1965 года выдающийся математик Пауль Эрдёш задал простой вопрос о распространенности множеств, свободных от сумм. Однако на протяжении десятилетий прогресс в решении этой проблемы был незначительным.
«Это, на первый взгляд, очень простая вещь, о которой мы имели поразительно мало понимания», — сказал Джулиан Сахасрабудхе , математик из Кембриджского университета.
До этого февраля. Спустя шестьдесят лет после того, как Эрдёш сформулировал свою задачу, Бедерт решил её. Он показал, что в любом множестве, состоящем из целых чисел — как положительных, так и отрицательных, — существует большое подмножество чисел, не имеющих сумм . Его доказательство проникает в глубины математики, оттачивая методы из разных областей, чтобы раскрыть скрытую структуру не только множеств, не имеющих сумм, но и самых разных других ситуаций.
«Это фантастическое достижение», — сказал Сахасрабудхе.
Эрдёш знал, что любой набор целых чисел должен содержать меньшее подмножество без сумм. Рассмотрим набор {1, 2, 3}, который не является набором без сумм. Он содержит пять различных подмножеств без сумм, например, {1} и {2, 3}.
Эрдёш хотел узнать, насколько широко распространено это явление. Если у вас есть множество из миллиона целых чисел, каково его наибольшее подмножество без сумм?
Во многих случаях оно огромно. Если вы выберете миллион случайных чисел, примерно половина из них будут нечётными, что даст вам подмножество без сумм, содержащее около 500 000 элементов.
В своей статье 1965 года Эрдёш показал (в доказательстве, которое состояло всего из нескольких строк и было признано блестящим другими математиками), что любой набор из N целых чисел имеет свободное от сумм подмножество, состоящее по крайней мере из N /3 элементов.
И всё же он не был удовлетворён. Его доказательство касалось средних значений: он нашёл набор подмножеств без сумм и вычислил, что их средний размер равен N /3. Но в таком наборе обычно считается, что самые большие подмножества намного больше среднего.
Эрдёш хотел измерить размер этих сверхбольших подмножеств без сумм.
Математики вскоре выдвинули гипотезу, что по мере роста множества наибольшие подмножества без сумм будут значительно превышать N /3. Более того, отклонение будет бесконечно большим. Это предсказание — что размер наибольшего подмножества без сумм равен N /3 плюс некоторое отклонение, которое бесконечно растёт с N , — теперь известно как гипотеза о множествах без сумм.
«Удивительно, что этот простой вопрос, по-видимому, вызывает значительные трудности, — писал Эрдёш в своей оригинальной статье, — но, возможно, мы упускаем из виду очевидное».
Десятилетиями ничего очевидного не появлялось. Никто не мог улучшить доказательство Эрдёша. «Чем дольше никто не мог улучшить эту простую границу, тем большую известность приобретала эта задача», — сказал Бен Грин , научный руководитель Бедерта в Оксфорде. И, добавил он, это была именно та задача, которую «очень и очень сложно решить хоть как-то лучше».
После 25 лет безуспешных попыток улучшить первоначальный результат Эрдёша математики наконец-то начали двигаться вперёд. В 1990 году два исследователя доказали, что любой набор из N целых чисел имеет подмножество без сумм, содержащее по крайней мере N /3 + 1/3 элементов, что чаще записывается как ( N + 1)/3.
Но поскольку размер множества всегда является целым числом, увеличение на 1/3 часто не имеет значения. Например, если вы знаете, что подмножество без суммирования должно содержать не менее 5/3 элементов, это означает, что его размер гарантированно равен 2 или более. Если вы добавите 1/3 к 5/3, ваш ответ всё ещё будет 2. «Забавно, это означает, что на самом деле это не всегда улучшает результат», — сказал Дэвид Конлон из Калифорнийского технологического института. «Это улучшает результат только тогда, когда N делится на 3».
В 1997 году легендарный математик Жан Бургейн поднял эту границу до ( N + 2)/3. Результат мог бы показаться не заслуживающим упоминания, но в статье Бургейна скрывался поразительный прорыв. Он описал идею доказательства того, что наибольшие подмножества без сумм будут сколь угодно больше. Он просто не смог точно определить детали, чтобы превратить это в полноценное доказательство.
«В статье рассказывается, как я пытался решить проблему и почему это не сработало», — сказал Сахасрабудхе.
Бургейн показал, что если множество из N элементов имеет большую норму Литтлвуда, то оно также должно иметь множество без сумм, значительно большее, чем N /3. Но ему не удалось добиться прогресса в случае, когда множество имеет малую норму Литтлвуда.
«Бургейн известен своей компетентностью, — сказал Шон Эберхард из Уорикского университета. — Это яркий показатель того, насколько сложна эта проблема».
В конечном итоге Бургейну пришлось использовать другой аргумент, чтобы получить свою оценку ( N + 2)/3. Но математики читали между строк: возможно, им удастся использовать норму Литтлвуда, чтобы полностью доказать свою гипотезу. Им оставалось лишь понять, как работать с множествами с малой нормой Литтлвуда.
Учитывая, что Грин был его научным руководителем, Бедерт неизбежно столкнулся с гипотезой о множествах, свободных от сумм. На сайте Грина перечислено 100 нерешённых задач ; эта задача стоит первой.
Бедерт просмотрел этот список вскоре после начала учёбы в аспирантуре. Поначалу он избегал задачи о множествах без сумм. «Я подумал: это очень сложно, не буду об этом думать», — вспоминал он. «Оставлю это на будущее».
Будущее наступило довольно скоро. Летом 2024 года Бедерт решил, что готов к более рискованному проекту. «Я уже добился довольно хороших результатов в своей докторской диссертации и, в общем-то, уже подготовил диссертацию», — сказал он. «Я начал думать над этими, пожалуй, более известными проблемами».
Он прочитал статью Бургейна 1997 года и начал размышлять о том, как реализовать схему Литтлвуда. Почти сразу у него возникла идея, как подойти к задаче о множествах с малой нормой Литтлвуда.
До сих пор было слишком сложно показать, что множества с малой нормой Литтлвуда всегда напоминают наборы арифметических прогрессий. Но Бедерт счёл полезным доказать нечто более достижимое: что даже если эти множества не построены буквально из арифметических прогрессий, они обладают определёнными ключевыми свойствами, свойственными прогрессиям.
В недавнем проекте Бедерт наткнулся на то, что он посчитал хорошим кандидатом на свойство, на котором можно было бы сосредоточиться. В арифметических прогрессиях существует множество групп чисел с одинаковой суммой. Например, в множестве чётных чисел (которое является арифметической прогрессией) сумма 4 + 8 равна сумме 2 + 10 и 2 + 4 + 6. Бедерт посчитал, что достаточно показать, что множества с малой нормой Литтлвуда всегда подчиняются этому свойству.
За пару недель ему удалось доказать истинность этого свойства. Но обеспечит ли этот результат уровень сходства с арифметическими прогрессиями, необходимый для доказательства гипотезы о множествах, свободных от сумм?
«Я был определённо взволнован, — сказал он. — А потом понял, что предстоит ещё так много работы».
Во-первых, Бедерт показал, что любое множество с малой нормой Литтлвуда можно «отобразить» во второе множество, ещё более похожее на арифметические прогрессии. Он подозревал, что именно в этих новых множествах он сможет найти большие подмножества без сумм.
Последней задачей было показать, каков будет размер такого подмножества без сумм. «Всё время рождественских каникул я не отрываясь думал об этой задаче», — сказал Бедерт. «К Новому году я так и не нашёл последний фрагмент головоломки».
Затем, через несколько дней после возвращения в Оксфорд в январе, его осенило. «Не знаю, откуда это взялось», — сказал он. «Возможно, эти идеи какое-то время роятся в голове, а потом наконец получается что-то стоящее».
Он представил структуру своих множеств с помощью инструмента, называемого преобразованием Фурье, а затем модифицировал доказательство 1981 года, чтобы показать, что некоторые отдельные компоненты этого представления должны иметь большую норму Литтлвуда. Поскольку Бургейн уже показал, как работать с множествами с большой нормой Литтлвуда, это завершило доказательство.
В конце концов, Бедерт показал, что любой набор из N целых чисел имеет подмножество без сумм, содержащее по меньшей мере N /3 + log(log N ) элементов. Для многих значений N это даёт подмножество без сумм, которое лишь немного превышает средний размер Эрдёша N /3. Даже если N , например, равно 10 100 , log(log N ) составляет всего около 5. Но по мере того, как N стремится к бесконечности, растёт и разница в границах Бедерта и Эрдёша, что окончательно подтверждает гипотезу.
«Это действительно потрясающий результат», — сказал Ифань Цзин из Университета штата Огайо. Цзин, который также был наставником Грина, считает, что это достижение — результат сосредоточенности Бедерта. «Бенджамин действительно проделал глубокую работу, чтобы модифицировать доказательство Бургейна и заставить его работать», — сказал он. «Он тратит на ту же задачу гораздо больше времени, чем другие».
Нам ещё многое предстоит узнать о подмножествах без сумм, а следовательно, и о степени влияния сложения на структуру целых чисел. Например, результат Бедерта решает вопрос о том, становится ли наибольшее подмножество без сумм бесконечно больше N /3. Но математики не знают точно, насколько быстро может расти это отклонение. Благодаря статье Грина и двух его коллег 2014 года они знают, что отклонение растёт медленнее, чем N. Однако, по словам Грина, «остается огромный разрыв» между этой верхней границей N и нижней границей Бедерта log(log N ).
Работа также даёт новое представление о множествах с малой нормой Литтлвуда. Такие множества являются фундаментальными объектами в области анализа, но их очень сложно изучать. Результат Бедерта помог математикам лучше понять их структуру, которую Грин и другие теперь надеются продолжить изучать. «Это красиво, это интересно, это кажется естественным», — сказал Эберхард. «Вы хотите разгадать тайну, не так ли?»
Для Сахасрабудхе вывод прост. «Старая и сложная проблема решена гениальным парнем», — сказал он. «Материал, на котором он строит, тонок и с ним сложно работать. Результат действительно замечательный».
