Студенческие флешбеки

Кто не задавался таким вопросом, изучая 37-ую тригонометрическую формулу или забористую теорему по геометрии? Кому это вообще нужно, кроме самих математиков?

Учителя обычно отвечают что-то типа "развивает мышление", более эрудированные приводят цитаты Ломоносова, Наполеона, Суворова и др., не говорящие ни о чем конкретном.

Давайте разберёмся, для чего конкретно нужна математика в целом и школьная в частности.

1) Анализ высказываний на естественном языке. Ваш учитель наверняка говорил - "в этом определении/теореме важно каждое слово!" После чего вы по одному слову разбирали данное определение. Применение в жизни: Мы слышим новость - "за последний год зарплаты учителям повысились на 50%!" Человек с развитым математическим мышлением подойдёт к этой новости по частям: учителям какого региона? На 50% по сравнению с чем? И т.п. (Готов поспорить, что сторонники теории заговора, постоянные зрители новостей Рен-тв, плоскоземельщики и иже с ними имели тройки в школе по математике) 

2) Аргументированно обосновывать свою позицию. (2.1 - делать выводы из утверждений). В определённых случаях, конечно, кто сильнее, тот и прав, но бывают ситуации, когда -в интернете кто-то не прав- когда вас готовы выслушать - если вам повезло с семьёй или коллегами. Вспомните, как доказываются теоремы по геометрии: по шагам строится схема, в которой из одного следует другое, на основании свойств/признаков выводится стройное, логичное обоснование. На первом уроке геометрии я обычно проверяю способность делать элементарные умозаключения простым примером. Даны два утверждения: А) Все люди смертныБ) Сократ - человекВывод? (Дайте себе секунду ответить самостоятельно...) - Сократ - смертен. Надо сказать, что до изучения геометрии на этот вопрос отвечают не многие. В рамках этого же пункта можно сказать про людей, которые открывают лодочный прокат в парке без водоёмов (была реальная ситуация, можно найти где-то про разорившегося предпринимателя), стартапы свиных ферм в мусульманских странах и тд. 

3) Ошибаться и признавать свои ошибки. Дело в том, что в математике нельзя сказать: "2+2=5, потому что это моё мнение", поэтому в ходе дискуссии можно несколько раз изменить своё мнение, и это не будет ущемлением чьей то гордости.

 4) Разбирать допущения, на которых строится утверждение. Когда два математика разговаривают, они формулируют утверждения максимально понятно друг другу, на математическом языке, а значит без общего с ними культурного фона третий собеседник их не поймет. Ему необходимо задавать вопросы: «Что означают эти слова в этом контексте? Какие другие варианты вы отбросили и почему?» Цель здесь — устранить любое непонимание.Это помогает понять, почему тот или иной человек делает определённые утверждения. К кому он обращается? Какая цель его фразы? Какие допущения заставляют его так говорить?

 5) Абстрактное мышление. И речь не только про пространственное мышление, которое тоже нужно, но на самом деле не всегда и не всем. Я говорю про более общие вещи: чтобы банально спланировать, к примеру, поездку, необходимо представить себе, что вы будете делать, что вам понадобится, в каких условиях вы можете оказаться и тд. Это просто пример, можно привести чуть более специфический: вам нужно купить квартиру. Какая площадь будет для вас достаточной? Какая сумма будет посильна? На самом деле это очень сложные вопросы, и ответить на них можно только смоделировав многие ситуации. Обращаю внимание, что всë вышеперечисленное не использует конкретные математические знания, а речь идёт про особый образ мышления, который формирует математика. Конкретные математические знания мы на самом деле применяем довольно редко, именно от этого и возникает впечатление, что математикой в жизни мы не пользуемся. Хотя ко мне регулярно обращаются люди, далёкие от математики, с жизненными ситуациями, приведу последние вопросы от жены, тёщи и друзей:

 - в рецепте на 3 яйца 250 грамм муки, сколько мне надо муки на 2 яйца?

 - помоги рассчитать, какую площадь опоры под шкаф надо сделать, если он весит до 1,2 тонны, а по нормам нагрузка на пол должна быть не больше 0,5 тонны на метр квадратный? (Точные цифры норм не помню, возможно чуть другие называли - вопрос архитектор задавал)

 - помоги сделать домаааашку! 

1. Сейчас число Пи вычесленно с точностью почти в 4 миллиарда знаков после запятой (продолжается уточняться)

2. В конце XIX века в США, штат Индиана, едва не был принят абсурдный закон, согласно которому значение числа пи на территории штата устанавливалось равным 3,2. Внёс его местный доктор Эдвард Гудвин и протолкнул закон потому как сенаторы практически все были его павциентами. И только математик Кларенс Уолдо, инспектировавший  Академию наук Индианы заметил это и тормознул принятие закона. Он и сейчас стоит в статусе "рассмотрения" (США в плане законодательства вообще кладезь юмора).

3. Иррациональность этого числа уже строго доказана математически, хотя доказательство ломало головы математикам очень и очень долго. Число Пи невозможно выразить конечным числом знаков/символов в любой системе исчисления

4. Это число долшое время не имело своего собственного имени. Только в XVIII веке стараниями европейских ученых Уильяма Джонса и Леонарда Эйлера. Причем греческая буква π была выбрана не случайно – с нее начинаются греческие слова “окружность” и “периметр”. А число пи, как известно, равно отношению длины окружности (периметра) к ее диаметру.

5. Самым древним летописным упоминаниям о числе пи уже около 4500–5000 лет. Некоторые ученые даже полагают, что библейская история про Вавилонскую башню вполне реальна, и это число использовалось при ее возведении, но из-за ошибок в расчетах башня обрушилась.

6. В 1988 году одна американская газета выпустила заметку о том, что правительство штата Алабама решило сократить число пи до трех. Это известие шокировало все научное сообщество, но вскоре выяснилось, что это был розыгрыш на 1 апреля.

Собрано с просторов тырнета, выбрано самое смешное или интересное.

Подвигло меня на написание сего опуса вот это: Самое большое число в мире, оно же - https://vombat.su/post/60955-samoe-bolshoe-chislo-v-mire

Собсвтенно говоря, начиная с первого класса и заканчивая шестым курсом института, мне казалось, что я неплохо понимаю в математике, все таки меньше пятерки у меня за все эти годы не было ни разу.

Я бы даже больше сказал: школу я закончил в 1975 году, а в институт поступил только в 1981 - просто не хотелось до этого, да и тогда не то что слишком уж захотелось - скорее, стало скучно...

И к экзаменам не готовился, и на математике мне попалась теорема не то синусов, не то косинусов, которую я не помнил совсем - помню, что что-то в треугольнике со сторонами и углами.

В результате пришлось ее сначала вывести по воспоминаниям, а потом - доказать. Экзаменатор, он же тогда - замдекана кафедры вышки, кажется, долго рассматривал мое доказательство, но придраться было не к чему.

Так я получил первую пятерку по математике в институте...

Но это я немного отвлекся.

Читаю всякую хрень, к математике отношения не имеющую, и вдруг там ГГ попадает на школьную олимпиаду по математике.

Стоит заметить, что я в олимпиадах не участвовал, их у нас в принципе не было, и я о них даже не слышал.

И были там приведены две задачки, для школьников, блин, и тут я понял, что не все у меня хорошо было с математикой...

Нет, вторая задачка была простая: имеется циферблат, как положено - стрелок две: часовая и минутная, но вот беда - они одинаковые.

Только ходят по "часовым" правилам.

И вопрос: сколько существует положений стрелок на  обычном, двенадцатичасовом циферблате, что нельзя однозначно определить время.

Ну, тут достаточно все просто, и, хоть там ответа не было, найти его - дело трех минут. Ну, старый уже, мозги плесневелые, в школьные времена быстрее бы нашел.

А вот первая задачка - я даже не уверен, что и в школьные времена решил бы, но хорошо, что там и решение было, хоть и намеками.

Короче: имеем сферу, 12% поверхности сферы закрашено черным цветом, требуется доказать, что существует такой, вписанный в данную сферу, прямоугольный параллелепипед, все вершины которого попадают на незакрашенную часть поверхности.

И вот эту задачку, если бы не подсказка - хрен бы я решил, мозги не те.

Да и в школьные годы, скорее всего, не решил бы - уж слишком непривычный метод, хотя и не выходящий за пределы знаний средней школы...

Даже не знаю - стоит ли решение приводить?

Ведь вомбатоматематикам неинтересно будет... :))

Сразу же найдутся люди, которые скажут что это "+∞",т.е. "плюс бесконечность".

А вот нифига подобного. Бесконечность в математике это понятие, концепция, а не какое-то конкретное число. С ней можно работать с точки зрения математического формализма, но невозможно определить точное значение (помните, назови целое число и прибавь к нему единичку - повторяй пока жив/существует_вселенная - так и познаешь что такое бесконечность).

Ну что же, будем разбираться с конкретными значениями больших чисел. Для начала возмём общепризнанную шкалу названий десятичных множителей (ну привыкли мы к десяти пальцам на руках, потому и система счисления десятичная):

Эти приставки стандартизированы по СИ, но мы-то понимаем, что числа могут быть намного боельше.

Естественно эти приставки не в полной мере удовлетворяют наши потребности. Та же физика (наука наблюдательная) запросто оперирует величинами, вроде 6,626 070 15⋅10^-34 кг·м2·с−1 (Дж·с) (постоянная Планка).

Конечно народ напридумывал другие величины, вроде:

• 100*10^78 - сто квинвигинтиллионов (не в системе СИ) — предполагаемое количество атомов в наблюдаемой Вселенной.
• У всех на слуху естественно googol - 10^100
• 10^170 - число позиций в китайской игре Го.
• Гуголплекс (от англ.googolplex) — число, равное 10^googol (десяти в степени googol), то есть 10^10^100

Ну да ладно. Пока я был в стадии сперматозоида (и то не факт) во всю работал выдающийся математик и программист Дональд Эрвин Кнут. (как же я гонялся за его трёхтомником "Исскуство программирования", но даже первый том был мне, студенту, не по карману). Он подумал, а действительно, как записывать о-о-о-чень большие числа. Числа, у которых показатель степени той же десятки не влезает в тетрадь. И придумал "стрелку Кнута":

"Возведение в степень. Если мы пишем 3^4, то имеем в виду, что число 3 мы умножаем на себя 4 раза. Получаем 81.Здесь в дело вступают стрелки Кнута. В этой нотации 3↑4 — это то же самое, что и 3^4. Самое интересное начинается, когда мы добавляем несколько стрелок подряд."

И далее

"Тетрация. Если мы пишем 3↑↑4, то имеем в виду, что число 3 мы возводим в степень себя же 4 − 1 раза. Для этого мы сначала возводим 3 в степень 3, получаем 27. Затем возводим 3 в степень 27, получаем 7 625 597 484 987. И наконец возводим 3 в степень 7 625 597 484 987 — получаем настолько большое число, что записать его привычным способом просто невозможно. Представьте, что мы заполнили всю наблюдаемую Вселенную песком и каждую секунду заменяем все эти песчинки новыми. Если мы будем заниматься этим в течение 10 миллионов лет, то общее количество песчинок, побывавших в нашей Вселенной-песочнице, и на одну миллионную не приблизится к числу 3↑↑4. Но и это не всё."

Т.е. мы можем описать таким образом реально гигантские числа в короткой записи.

В 1977 году американский математик-любитель Мартин Гарднер выпустил статью, в которой описал число Грэма. Что самое интересное, это число возникло не с потолка, а в результате решений в области теории Рамсея (жуть жуткая и мне непостижимая). Что самое интересное, это самое большое число, которое использовалось в к-либо научных работах вообще. Через стрелочки Кнута оно выражается так:

Не буду упоминать число Райо, т.к. суть этой формулировки я понять не в состоянии и тем более не смогу описать доступным языком, но определение формально чистое.

К посту о 27-летии https://pikabu.ru/story/s_dnyom_rozhdenya_menya_d_6673066

Пришёл я как-то к другу. Математик он. Они с коллегами-преподавателями снимают квартиру, и получилось так, что я попал на день рождения одного из них. Посмотрел я на торт и на свечи в виде двух троек и спросил: "тебе 33???!!!". Я был удивлён. На что мне друг упрекнул: "разве не видишь, что они не на одном уровне?". В общем ему 3 в кубе, то есть 27. Чокарик, я знаю, ты это читаешь ;-)

Суть простая, как и во многих задачках, которые даже до сих пор не решены.

Задача для школьников полного цикла обучения (т.е. начальная школа (4 класса) и пр. отлетают). Скажу сразу - я бы хрен когда в жизни догадался до такого решения.

Суть задачи:

1. Есть числа - три двойки, обложить их математическими знаками так, что бы можно было получить любое натуральтное число !!!! ЛЮБОЕ, Карл!!!

2. Знаки должны быть доступными для изучения в общеобразовательной школе - не в ВУЗе и тп.

3. Решение должно быть универсальным - отсутствие ограничений или исключений.

Блин, я сам на олимпиадах бывал (на районной до 3 места дошёл (первое не взял никто)), но к такому извороту мозгов меня никто не готовил...

Смотрите и удивляйтесь выкрутасам логики "древней цивилизации"

Да не простой, а самый сложный в мире. Человеку просто нереально найти путь. Математики Бристольсого университета решили использовать для этого фрактальную геометрию, в частности Гамильтовы циклы. 

Подобные системы очень хорошо массштабируются без повторений. Такими свойствами обладают квазикристаллы - вроде и кристалл, но структура упорядочена не точно.

Естественно учёные не оставили лабиринт без решения. Увы, я не придумал как картинку спрятать под спойлер:

Источник

Пассажир такси преподаватель математики Василий Иванович рассказывает жалостливые истории из своей жизни Жанне, водительнице транспортного средства.

*** К чему приводит репетиторство ***

Два года назад я попал в аварию. В результате, что-то у меня случилось с головой, я вдруг решил, что мне надо обязательно развестись с женой. При этом, хотите - верьте, хотите нет, жена в этой сложной ситуации вела себя идеально. Каждый день ходила в больницу, носила фрукты, всячески поддерживала.

Но меня сильно переклинило, я твердо решил развестись. Не надо меня спрашивать, почему. Не знаю, не знаю! Вероятно, я вообразил, что после развода мои научные математические изыскания пойдут в гору. Может быть, у меня даже получится доказать теорему Ферма для n>4.

Вы, конечно, знаете теорему Ферма, ее все знают, даже не математики. Для целых чисел n больше 2 уравнение X(в степени n) + Y(в степени n) = Z(в степени n) не имеет ненулевых решений в натуральных числах. Звучит просто, даже школьнику понятно. Но попробуйте доказать эту теорему!

Правда, связи с исключительной популярностью теоремы, есть интересные побочные эффекты. Например, эту теорему пытались использовать в медицинских целях. Зафиксирован вот такой интересный успешный эксперимент. Немецкий промышленник Пауль Вольфскел страдал сильными суицидальными настроениями. И его вылечили путем демонстрации теоремы Ферма. Он так сильно увлекся этой темой, что даже забыл о веревке с мылом и о пистолете с патронами. Вот так! Хотя, надо признать, обратных случаев было больше. Люди массово сходили с ума в долгих и безуспешных попытках найти доказательство.

Вы, конечно, можете заявить, что сегодня нет смысла тратить время на теорему Фермы, т.к. в 1995 году Эндрю Уайлс эту теорему якобы доказал. Его доказательство содержит 129 страниц и опубликовано в журнале "Annals of Mathematics". Вы, конечно, читали это доказательство. Я тоже читал. Там сплошные дыры, страшная путаница, явные ошибки и мутные противоречия. Наука и совесть математика требуют создания нового правильного элегантного доказательства без косяков.

Вот и я решил почти полностью посвятить себя этому святому математическому делу, поисками правильного доказательства теоремы Ферма, оставив лишь немного времени на работу в институте. Жена меня отговаривала, но не очень настойчиво. Мы развелись. Я отдал ей все наше имущество, включая квартиру и все накопления. Себе оставил только нашу старенькую, но надежную машинку "Лада Веста".

Тут я впервые почувствовал, что такое материальные проблемы! Я арендовал маленькую однокомнатную квартиру, за которую приходилось ежемесячно платить почти половину зарплаты. Кстати, моя зарплата в институте была неплохая, но приходилось жить "от зарплаты до зарплаты". Я не привык к такой экономной жизни. Мне было дискомфортно.

Я решил подработать репетиторством. У нас многие этим занимались. Схема простая и удобная для всех. Преподаватель создает группу дополнительного обучения в составе от одного до бесконечного количества студентов. Обучает эту группу в личное время, как может. Затем на зачетах и экзаменах, по сути сам же оценивает свою работу. Конечно, каждый сам себя оценивает гораздо выше, чем, если бы это делал другой. Таковы психологические особенности человеческих особей.

На ловца и зверь бежит! Ко мне сама обратилась одна студентка с просьбой индивидуально помочь ей разобраться с математикой. Была она такой невзрачной робкой девушкой, тупой до безобразия! Я, наивный старпер, сначала воображал, что увлеку ее прекрасным математическим миром, теоремой Ферма. Подтяну ее до своего уровня, и кто знает, может, вместе мы в результате найдем новое элегантное доказательство.

Сначала мы занимались в институте, затем, чтобы никто не мешал, в моей квартире. Первые десять занятий ушли на то, чтобы я понял, что девушка в математике не просто полный ноль, а какая-та бесконечно отрицательная величина. Она слушала меня с большим интересом, открыв рот, вводя меня заблуждение, что, якобы, что-то понимала в моих пламенных речах.

Когда я ход за ходом раскрывал уровни ее математической тупости, каждый раз меня охватывал сильнейший культурный шок.

Сначала я понял, что о совместной работе над теоремой Ферма не может быть даже речи. Девушка не понимала, что такое "степень числа". Копнув глубже, путем задавания простых вопросов, я понял, что студентка вообще не склонна даже к примитивной абстракции, она категорически отказывается понимать, что такое "X", "Y" и "Z".

И это было только начало пути в познании ее математической тупости!

Выяснилось, что умножения она тоже не понимала! Да, она бойко и правильно кричала "дважды два четыре, пятью пять двадцать пять, шестью шесть тридцать шесть". Но уже при вопросе "семью семь" ее резко переклинивало, и после некоторого обдумывания, она выдавала ответ "сорок семь".

Плотно пообщавшись с ней по душам, я выяснил, что ее математические знания были чисто эмпирическими. Причем ее эмпиризм основывался на весьма скудной практике, которая заключалась в старой популярной детской песенке. Вы ее, наверное, знаете. Дважды два четыре, дважды два четыре, это всем известно в нашем мире. Пятью пять - двадцать пять. Шестью шесть - прошу учесть, неизменно тридцать шесть!

С одной стороны, благодаря этой детской песенке, Нюра (так звали мою студентку) частично освоила таблицу умножения. Но с другой стороны, эта песенка внушила ей странную мысль о необходимости рифмовки в математике. Огромных трудов мне стоило объяснить, что "семью семь сорок девять", а вовсе не "семью семь сорок семь", как Нюре очень хотелось. С большим трудом я вбил в ее мозг, что рифмовка в математике вещь случайная и бывает далеко не всегда.

Затем, также с большим трудом, я объяснил ей суть умножения, что "пятью пять" означает "5+5+5+5+5".

У меня есть важное достоинство. Если у меня есть проблема в области математической педагогики, то я ее обязательно решу, чего бы это ни стоило мне и обучаемому. И не важно, кто этот обучаемый, дебил, обезьянка или даже тупая блондинка.

В случае с Нюрой я использовал новые нетривиальные, мною лично разработанные методы обучения.

Например, я предложил ей поиграть в карты, в "очко". Причем, она должна была громко вслух называть текущие суммы у каждого игрока. Таким способом я развивал у нее элементарные ментальные арифметические навыки.

Чтобы сделать процесс игры более интересным, мы играли на раздевание. К моему удивлению, в карточных играх Нюра проявляла некоторые способности, счет между нами был всегда примерно равным. А ведь мы играли не только в "очко", но также в "переводного дурака", "козла", "кинга" и даже пробовали "преферанс с болваном".

Обычно после игр мы, полностью раздетые, ложились в мою постель, чтобы немного отдохнуть. Там я ее обучал некоторым хитрым приемам, например, умножению на число 9, используя пальцы двух рук, путем загибания одного пальца.

Процесс обучения шел медленно, но верно. Нюра уже уверенно решала простые квадратные уравнения по программе седьмого классы школы.

Поскольку мы договорились о почасовой оплате репетиторства, а занятий было много, мое благосостояние быстро росло. Недостаток в этой схеме сотрудничества был один, но существенный. Подало благосостояние самой Нюры, а также ее родителей, которые спонсировали ее обучение. Дело дошло до того, что родителям пришлось продать новый телевизор и корову молочной породы. Лишенные качественных молочных продуктов и обозленные родители посоветовались с юристом, а затем мамаша тайно приехала спасать свою дочь от маньяка математика.

Хитрая Нюра ничего мне об этом не рассказывала. Она только как-то невнятно намекала на материальные трудности. В ответ я ей напоминал о законе про сообщающие сосуды. Нюра также что-то болтала о "бартере" и "взаимозачете", но я не понимал, что она имела в виду. Оплату она вносила регулярно, поэтому конфликт тлел, но не разгорался. Перед зачетом я ей открыто заявил, что для сдачи зачета знаний ей пока не хватает. Она что-то брякнула про кучу денег, которые выбросила на ветер, обиделась и эту обиду выплеснула на меня позже самым жутким образом.

Как обычно после карточных игр, мы лежали в кровати, наслаждаясь нашими фирменными математическими упражнениями. Раздался звонок во входную дверь, что меня слегка удивило. Нюра быстро вскочила с кровати и со словами "я открою", ринулась в коридор. Оказалось, это пришла ее родная мать. Она немедленно занялась фотосессией, при этом Нюрка демонстративно прижималась ко мне. А я, старый дурак, до того растерялся, что зачем-то подыгрывал им, обеспечивая наиболее интересные ракурсы для видеосъемки.

Через десять минут видео сессия закончилась, мы дружно сели пить чай, и мамаша Нюрки начала грязный шантаж.

Она сразу зашла с козырей. Оказывается, их ненаглядная доченька является несовершеннолетней, восемнадцать лет ей исполняется только через неделю. А это означает, что наше невинное, казалось бы, репетиторство, проходит по такой жуткой статье уголовного кодекса, что мне сразу стало плохо. На руках у истцов были доказательства в виде видео и био материалов, которые были аккуратно упакованы в презерватив и которыми подлая Нюрка торжественно размахивала.

Вот такой случай жуткого коварства, который я испытал на своей шкуре. Вместо благодарности за мое отличное преподавание, подложить вот такую свинью в виде мамаши-шантажистки! И это от моей лучшей ученицы, которую я воспитал и обучил, не жалея, своих, увы, очень ограниченных сил. Я ее из полной набитой дуры сделал прелестную милую дурочку, которая хоть что-то понимала и умела! А что в ответ? Обидно и печально!

Кончилось все, слава Богу, более или менее нормально. Мы пошли на компромисс. Шантажистки не стали подавать заявление в полицию. Я, скрипя сердцем, поставил Нюрке зачет в сессии, а также отдал обратно пятьдесят процентов гонораров за репетиторство. День рождения Нюрки отметили вместе. Женщины радовались, веселились, обсуждали, какую они теперь корову купят на вырученные средства. А мне было грустно. Не ожидал я от почти родных женщин такого коварства.

- А Вы, Жанна, что можете сказать об этой истории? – поинтересовался математик.

- Я думаю, Василий Иванович, Вам крупно повезло, что Вы нарвались на шантажисток любительниц, - задумчиво ответила Жанна, - были бы профессионалки, они бы Вас до нитки ободрали. Статья-то, действительно, нешуточная. Хотя, минутку. А Вы уверены, что этой Нюре было семнадцать лет? Вы паспорт-то ее хоть видели?

- Елки-палки, - воскликнул преподаватель, - ну, конечно! Какие там нафиг семнадцать лет! Она же до института после школы закончила какое-то пушное ПТУ, а потом работала в зверосовхозе в убойном цехе несколько лет. Да и по жизненному опыту ей никак не меньше двадцати. Как я сразу не сообразил паспорт ее посмотреть!

- Какие же, вы мужчины наивные, - вздохнула Жанна, - за вами глаз, да глаз нужен. Всему верите.

- Это точно, - вздохнул Василий Иванович, - но еще больше моя наивность проявилась в следующей истории, которая произошла через пару месяцев после этой.

Первоисточник:

https://wpvi.ru/pages/story/00054/

#############

### Конец ###

#############

Сегодня предоставляю вашему вниманию подборку хороших, актуальных и рабочих книг для начальной подготовки к решению олимпиадных задач по математике. Архив с книгами (~208 Мб) прилагается.

1. Логические задачи - Раскина (С 3 класса)

В книге начальные знания о решении логических задач. Перебор, табличные задачи, рыцари, лжецы.

2. Логика для всех - Раскина (С 5 класса)

Логические задачки для продвинутых, начала алгебры логики, метазадачки.

3. Четность - Медников (с 4 класса)

От составления таблиц четности суммы и произведения до чередования четности.

4. Делимость и простые числа - Сгибнев (с 5 класса)

Признаки делимости с доказательствами, признаки остатков, сложные задачи про турниры.

5. Графы - Гуровиц (с 3 класса)

Доступно дается метод решения задач графами, хорошая подборка задач про деревья и обходы.

6. Азы теории чисел, Кноп (с 3 класса)

Уравнения в целых числах, теория остатков, простейшие линейные комбинации.

7. Длина, площадь, объем - Мерзон (с 5 класса)

В основном задачи о сравнении объектов по размерам, хорошо развивает пространственное мышление.

8. Арифметические задачи - Чулков (с середины 4 класса)

Всевозможные методы решения текстовых задач - от процентов и движения (полезно ОГЭшникам в том числе) до сложных сравнений.

9. Геометрические задачи на построение - Блинков (с 7 класса)

10. Вписанные углы - Блинков (с 7 класса)

Две книги для получения хорошей и устойчивой базы по геометрии.

11. Математические бои - Шаповалов (с 6 класса)
Сборник подготовки к олимпиадам по разным темам от автора олимпиад.

Отмечу два важных момента:
1. Если ученик сейчас в 7 классе, то это не значит, что задачник за 3 класс ему уже не нужен. База в любом случае должна быть получена, иначе двигаться дальше будет нельзя. Текст в скобках указывает минимальный возраст, необходимый для усвоения материала. Ограничение сверху отсутствует.

2. Большинство авторов сборников - составители нынешних олимпиад. Таких авторов выделил курсивом. Познакомиться со стилем их задач заранее крайне полезно.


По всем вопросам - Alexjuriev3142@gmail.com

В прошлом посту я показал, что на самом деле, в природе, нет никакой связи между периметром и площадью фигуры. В качестве примера была снежинка Коха. Вроде пример надуманный - и всё это просто игры математиков. А вот нифига. В природе эти фракталы встречаются почти везде.

Глядя на фотку выше математик Майкл Брансли решил описать его математически (делать ему больше нечего что ли?) и, у него получилось(более-менее точно):

Та же береговая линия острова. Чем точнее будем вычислять периметр острова тем тоскливее нам будет (периметр таких фракталов обычно стремится к бесконечности).

Но у фракталов есть ещё одна характеристика - размерность.

Например у математической (а не ручкой поставленной) точки размерность равна нулю, у линии - единице, у плоскости двойке, у куба - тройке, а вот у сферы снова двойке (это Вам для разминки мозгов), в то время как у шара - привычная тройка.
Т.е. на линии мы можем взять точку отсчёта и обозначить положение на линии одной координатой, на плоскости уже двумя, у куба - три(ширина, высота и длина) и т.д.

А что же с размерностью у фракталов?

Думали-думали и придумали. Решилм использовать фрактальную размерность. Её начали использовать для определения сложных объектов (не обязательно бесконечных фракталов). Фообще слово фрактал (fractured) в математике означает "дробное". Определили енту величину как меру сложности подобных структур. Как оценить енту меру-то? Ведь математикам нужно конкретное число, а не то что один сказал - "просто", второй "сложно", третий "пойдёт"... Решили, что на определённом массштабе определяется количество отдельных элементов и как это число меняется при уменьшении массштаба.

Математически выглядит так:

• D — фрактальная размерность, показатель сложности и структуры объекта;
• log(N) — логарифм числа элементов, необходимых для покрытия фрактала. По мере уменьшения масштаба размер элементов уменьшается, а их количество увеличивается;
• log(S) — логарифм обратного масштаба (размера элементов). Чем меньше элемент, тем больше их требуется для покрытия всей структуры.

А формула простое соотношение D=log(N) / log(S).

Для той же снежинки Коха

Снежинка строится на отрезке, который делится на три равные части, затем на средней части создается «пик» в форме равностороннего треугольника без основания. В результате каждый исходный отрезок заменяется на 4 меньших, и так далее.
Получаем, что S = 3, N = 4, а размерность log(4) / log(3) ≈1.261859507...

Вот такие чудеса, вомбатяне, оказывается имеются и дробные размерности, причём в самой природе.

https://vombat.su/post/64552-zadumivalis-li-vi-kogda-nibud-o-masshtabah-vozdushnih-srazhenii-vtoroi-mirovoi-voini

Понятие происходит из Второй Мировой войны. ВВС США (8-я воздушная армия, которую перебросили в Великобританию) несли огромные потери бомбардировочной авиации. У меня однажды был пост о масштабах воздушных сражений Второй мировой войны. Ввиду этого они инициировали работы по усилению бронирования. Королевские ВВС Великобритании, тоже имевшие дальнюю бомбардировочную авиацию, которая ходила в рейды на территорию Германии и подконтрольных ей европейских стран, также были заинтересованы в результатах исследования.

Изначальная идея заключалась в том, чтобы отмечать все повреждения вернувшихся с боевых вылетов самолетов, и затем усилить те зоны, в которых окажется наивысшая плотность точек.

Они наняли математика венгерского происхождения Абрахама Вальда, чтобы тот подготовил статистический аппарат исследования. Тот между делом отметил: фиксируемые повреждения - не проблема. Самолеты в конечном итоге добираются с ними назад. А вот те, что не вернулись - вероятно, были поражены в те зоны, в которых меньше всего плотность точек. Соответственно, и бронировать/усиливать бомбардировщики следует в тех местах, что обычно остаются самыми целыми.

Инженеры прислушались к подходу Вальда. Какую эффективность он показал на практике, неизвестно, но судя по тому, что ВС США продолжали руководствоваться им и в Корее и во Вьетнаме, эффективность какая-то была. История Абрахама Вальда чаще приводится как яркий пример когнитивного искажения "ошибка выжившего" и силы контринтуитивного логического мышления, без источников на результаты. Но тем не менее... Наследие работы Вальда оказалось более значимым в послевоенный период для развития статистики и теории принятия решений. Ну, и в психологию "ошибка выжившего" пробралась тоже, и многие из вас знают это понятие именно оттуда.

В контексте психологии "ошибка выжившего" - когнитивное искажение, при котором человек оценивает ситуацию, основываясь только на видимых примерах, игнорируя невидимые или неуспешные случаи.

Основные тяжелые бомбардировщики ВВС США и Королевских ВВС Великобритании на Европейском ТВД - Boeing B-17 Flying Fortress и Avro Lancaster.

Обратите внимание на разную схему окраски по разным бортам у B-17. Изначально самолет раскрасили в честь борта Sally B. Потом понадобился самолет-дублёр для съёмок фильма "Красавица Мемфиса" об одноименном самолете. Потому на другой стороне у него схема окраски от "Красавицы Мемфиса". Вообще мало какой самолет Второй мировой войны носит свои оригинальные цвета - перекрашивают в честь знаменитых собратьев.