Занимательная математика

Кто не задавался таким вопросом, изучая 37-ую тригонометрическую формулу или забористую теорему по геометрии? Кому это вообще нужно, кроме самих математиков?

Учителя обычно отвечают что-то типа "развивает мышление", более эрудированные приводят цитаты Ломоносова, Наполеона, Суворова и др., не говорящие ни о чем конкретном.

Давайте разберёмся, для чего конкретно нужна математика в целом и школьная в частности.

1) Анализ высказываний на естественном языке. Ваш учитель наверняка говорил - "в этом определении/теореме важно каждое слово!" После чего вы по одному слову разбирали данное определение. Применение в жизни: Мы слышим новость - "за последний год зарплаты учителям повысились на 50%!" Человек с развитым математическим мышлением подойдёт к этой новости по частям: учителям какого региона? На 50% по сравнению с чем? И т.п. (Готов поспорить, что сторонники теории заговора, постоянные зрители новостей Рен-тв, плоскоземельщики и иже с ними имели тройки в школе по математике) 

2) Аргументированно обосновывать свою позицию. (2.1 - делать выводы из утверждений). В определённых случаях, конечно, кто сильнее, тот и прав, но бывают ситуации, когда -в интернете кто-то не прав- когда вас готовы выслушать - если вам повезло с семьёй или коллегами. Вспомните, как доказываются теоремы по геометрии: по шагам строится схема, в которой из одного следует другое, на основании свойств/признаков выводится стройное, логичное обоснование. На первом уроке геометрии я обычно проверяю способность делать элементарные умозаключения простым примером. Даны два утверждения: А) Все люди смертныБ) Сократ - человекВывод? (Дайте себе секунду ответить самостоятельно...) - Сократ - смертен. Надо сказать, что до изучения геометрии на этот вопрос отвечают не многие. В рамках этого же пункта можно сказать про людей, которые открывают лодочный прокат в парке без водоёмов (была реальная ситуация, можно найти где-то про разорившегося предпринимателя), стартапы свиных ферм в мусульманских странах и тд. 

3) Ошибаться и признавать свои ошибки. Дело в том, что в математике нельзя сказать: "2+2=5, потому что это моё мнение", поэтому в ходе дискуссии можно несколько раз изменить своё мнение, и это не будет ущемлением чьей то гордости.

 4) Разбирать допущения, на которых строится утверждение. Когда два математика разговаривают, они формулируют утверждения максимально понятно друг другу, на математическом языке, а значит без общего с ними культурного фона третий собеседник их не поймет. Ему необходимо задавать вопросы: «Что означают эти слова в этом контексте? Какие другие варианты вы отбросили и почему?» Цель здесь — устранить любое непонимание.Это помогает понять, почему тот или иной человек делает определённые утверждения. К кому он обращается? Какая цель его фразы? Какие допущения заставляют его так говорить?

 5) Абстрактное мышление. И речь не только про пространственное мышление, которое тоже нужно, но на самом деле не всегда и не всем. Я говорю про более общие вещи: чтобы банально спланировать, к примеру, поездку, необходимо представить себе, что вы будете делать, что вам понадобится, в каких условиях вы можете оказаться и тд. Это просто пример, можно привести чуть более специфический: вам нужно купить квартиру. Какая площадь будет для вас достаточной? Какая сумма будет посильна? На самом деле это очень сложные вопросы, и ответить на них можно только смоделировав многие ситуации. Обращаю внимание, что всë вышеперечисленное не использует конкретные математические знания, а речь идёт про особый образ мышления, который формирует математика. Конкретные математические знания мы на самом деле применяем довольно редко, именно от этого и возникает впечатление, что математикой в жизни мы не пользуемся. Хотя ко мне регулярно обращаются люди, далёкие от математики, с жизненными ситуациями, приведу последние вопросы от жены, тёщи и друзей:

 - в рецепте на 3 яйца 250 грамм муки, сколько мне надо муки на 2 яйца?

 - помоги рассчитать, какую площадь опоры под шкаф надо сделать, если он весит до 1,2 тонны, а по нормам нагрузка на пол должна быть не больше 0,5 тонны на метр квадратный? (Точные цифры норм не помню, возможно чуть другие называли - вопрос архитектор задавал)

 - помоги сделать домаааашку! 

Математика всегда давалась мне легко. Я схватывал на лету, главное было хоть чуть-чуть подумать. Только вот в тех реалиях, в которых учился я, это оказалось недостатком. Мне было скучно на уроках математики. Не потому что математика скучная, а потому что я всё быстро понимал и решал. Ну а когда делать ребёнку нечего, он балуется. В школе за один урок я мог получить две пятёрки, решив два варианта контрольной работы, и три двойки за поведение. Ирина Геннадьевна, мой учитель математики в школе, хоть как-то пыталась меня обуздать и нагрузить, но не справилась. К девятому классу я начал немножко отставать по геометрии. Опять же, из-за скуки.

В техникуме же ситуация была совсем иной. Насколько я помню, в техникуме мы уже изучали начало анализа: логарифмы, интегралы и тп. Я сначала было испугался, но нет. Всё также легко и просто. Я опять страдал фигнёй, на этот раз уже на парах. Что сильно раздражало преподавателя. Кстати, я редко делал домашку по математике дома, потому что успевал сделать её на перемене. И вот в техникуме в очередной раз моё поведение вывело преподавателя и она вызвала меня к доске, дав сложное уравнение. Я подумал с минуту, все необходимые формулы висели в кабинете, раскидал уравнение ещё за две минуты и посмотрел на преподавателя:
- Правильно, садись, три, - сказали мне.
Честно, мне было всё равно. Я спросил, конечно же, "за что?", но меня это не волновало. Я знал, что я знаю предмет. Но тут, внезапно, за меня вступилась вся группа. А я не был популярным студентом! Но почти все, от "врагов" до друзей, за меня заступились и требовали поставить мне пятёрку. Это сработало.
Под конец года меня ждал экзамен. Я немножко нервничал, так как не хотел ударить в грязь лицом. Я знал математику и хотел получить за экзамен хор. или отл. Но у преподавателя (не помню её имя, уж извините) были другие планы. Перед тем как открыть аудиторию она подошла ко мне, взяла за руку, отвела и тихо сказала:
- Выше тройки не поставлю.
Штож. Тогда о чём мне волноваться? На тройку хватало сдать два вопроса. Я зашёл в аудиторию первым, взял билет, решил два первых уравнения за 5 минут, сдал работу и ушёл домой.
Так закончился мой математический гений. 16 лет назад я решил своё последнее уравнение и больше к матану не прикоснулся. Сейчас мои знания по математике ниже, чем у девятиклассника. Да, энергичный ребёнок, схавтывающий предмет с полуслова — та ещё задачка для учителей. Я был проблемным учеником, я это знаю. Но если в школе учитель хоть как-то пытался мной заниматься, то в техникуме для преподавателя я стал врагом номер один.
Учителям на заметку. Не заваливайте детей за поведение, не отбивайте их тягу к науке.

А вот рассказ про то, как мой сын математике обучался. Ах как жаль, что у него не было такого учителя, как у меня в школе. Вот она-то умела донести до детей знания. Но тогда детей просто учили, а теперь "учат учиться". Тфу на новые методы обучения!

Результаты ОГЭ по математике у сына были отличными. А ведь у него в школе с математикой были серьёзные проблемы.

По математике сын стал отставать в конце третьего класса - скатился на тройки. Но я не придавала поначалу этому большое значение. Именно в третьем классе мы столкнулись с такими задачами, которые взрослые люди не могли решить сразу. Вернее могли, но составляя уравнения с неизвестными, а в третьем классе этому ещё не учили. Значит надо было решать задачи другим каким-то способом. Частенько, решая вместе с сыном домашнее задание, приходилось пользоваться интернетом, чтобы узнать как правильно решать ту или иную задачу. Тогда я решила, что всё дело в видах задач. Одну задачу мы как-то раз на работе решали - те люди, кто не был занят на вызовах. В тот вечер мама позвонила мне со слезами в голосе:

- Представляешь? Не могу решить задачу по математике за третий класс! А ведь у меня высшее образование. Это ужас какой-то.

Затем мама продиктовала условие задачи, и попробовала сама её решить. Не смогла. Ко мне присоединились коллеги. Больше часа решали. Решить смог только один врач, но и то не так, как надо было. Ответ верный, но способ решения не соответствовал школьному. Потом оказалось, что это была задача не на математические знания и умения, а на сообразительность.

Когда сын учился в четвертом классе, часть домашних заданий мы делали совместно. А когда я была на сутках, с ним занималась моя мама. Я несколько раз предлагала сыну попросить учительницу помочь разобраться с заданиями в те дни, когда меня не было дома. Сын отвечал, что он подходил к Елене Анатольевне, но учительнице некогда с ним заниматься. И я ему поверила - этому были основания.

Оставалось полгода до окончания четвёртого класса, когда я впервые сказала: "Потерпим немного. Скоро перейдешь в среднюю школу, осталось совсем ничего. Там будут другие учителя. Наверняка с математикой станет получше, и ты будешь её понимать." Но лучше не стало. Первое, что новая учительница математики объяснила детям было то, что они "тупые дебилы, не знающие основ". Об этом я узнала на родительском собрании в январе. Тогда родители некоторых детей рассказали, что именно так обзывает новая учительница их детей. Родительницы были возмущены, и задали вопрос нашей новой классной руководительнице:

- Какое имеет право учительница так называть своих учеников?

Классная руководительница пообещала поговорить с математичкой.

Дома я спросила у сына, почему я об этом ничего не знаю? Он ответил, что его так не называют. А только тех, кто на уроках безобразничает. На следующее классное собрание пришла сама учительница математики. Она говорила, что на уроках дисциплины нет, что дети не знают программу третьего класса, что ей приходится вместо нового материала объяснять старый. Она спросила, почему дети ничего не знают? Ей посоветовали задать этот вопрос Елене Анатольевне. На этом обсуждение проблем с математикой закончилось. Почему-то ни одна из мам детей, который обязывала учитель, не спросила об оскорблениях.

В пятом классе мы с сыном делали уроки вместе. Стало немного полегче. Возможно дело в новых учебниках. По крайней мере, они не вгоняли меня в ступор своими непонятными задачами. Учился сын математике на тройки, иногда приносил четверки. В шестом заявил, что будет делать уроки сам. По другим предметам он уже пару лет как сам домашку делал. Четверки исчезли. Каждый раз, когда я спрашивала сделал ли он уроки, уроки оказывались выученными. Я проверяла тетрадь для домашнего задания - все примеры были решены правильно. И сын говорил, что не видит смысл делать домашку, потому что всё равно её никто не проверяет. Я была удивлена, но это оказалось правдой - учительница математики не проверяла домашнюю работу, поэтому дети не стремились её делать.

А потом я поймала сына на том, что домашку он списывает - кто-то умный из класса решал домашнее задание и выкладывал решение в интернете. А остальные просто списывали его. Я провела беседу о том, что это неправильно, и попыталась объяснять для чего даётся домашняя работа - для закрепления материала, пройденного ранее. Потом я в течение нескольких недель просто сидела рядом с сыном, пока он решал задачи. Когда могла. Пытаться объяснять что-либо я перестала, поняв, что учитель из меня никакой - я оказалась косноязычной относительно математики. А потом началось "Ой да не надо. Я уже сделал. Ну мама! Я сам!" С седьмого класса сын все уроки делал сам.

С учительницей математики отношения у класса не сложились. Дети математику не усваивали, учительница на них орала и обязывала тупицами и дебилами. С пятого класса родители пытались избавиться от неё. Сначала просто разговаривали, потом стали писать коллективные письма с требованием поменять учителя математики. Писали и директору, и в РОНО, и ещё куда-то. По несколько писем в год. Бесполезно. Ответ был один и тот же: "Учителей на все классы не хватает. А ваш класс никто не соглашается брать. Она единственная, кто согласна. Другого учителя вам не дадут."

И вот девятый класс. Впереди ОГЭ. Что делать? Правильно. Записать ребёнка на курсы или к репетитору. Сын выбрал курсы.

- По курсам английского языка я понял, что лучше усваиваю информацию в группе, чем индивидуально.

Не знаю на сколько это верно, но проверять я не стала и записала на курсы по подготовке к ОГЭ. На этих курсах просто прорешивали задания, которые будут на экзамене. Если у детей не получалась какая-нибудь задача, им объясняли как её правильно решать. Всё. Сыну я сказала:

- Будешь заниматься на курсах, и оценки по математике в школе станут лучше. Вот увидишь.

Сын удивился:

- А с чем это связано? На курсах мы просто решаем, а в школе новые материалы проходим. И темы, по которым задачи на курсах решаем, не совпадают со школьными.

Примерно через месяц сын пришёл из школы и с порога заявил:

- Не знаю как, но это работает! Математику начал понимать. За контрольную работу четыре получил!

Это была первая четверка за контрольную в средней школе.

Успеваемость по математике стала расти. За последнюю четверть сын получил пять, а за первую два. ОГЭ сдал на отлично (22 балла). Вот такие дела. В нашем классе за ОГЭ по математике две пятёрки, одна двойка, шесть четвёрок, остальные тройки. Почти все дети с четвёрками посещали либо репетитора, либо курсы подготовительные. Разве так должно быть? И ещё один вопрос. Почему курсы помогают лучше чем школьный учитель? Ведь на курсах не объясняют ничего нового.

Возможно, что нам просто не повезло с учительницей.

P. S. Тем, кто считает, что я должна была всё время делать с сыном домашнее задание и объяснять все темы по математике, скажу - нет, не должна. В средней школе ребёнок должен делать домашнее задание самостоятельно, а темы по любому предмету должен объяснять учитель в школе. Иначе зачем вообще ребёнка в школу отдавать? Я медик, а не преподаватель. У меня не получается правильно объяснять какой-либо материал по математике. По анатомии и литературе могу, а по математике, физике или химии - нет. Я делаю свою работу, а учитель должен делать свою, не перекладывая её на родителей.

На этом всё. Других проблем с обучением в школе у нас не было. Поэтому и рассказывать не о чем.

Подвигло меня на написание сего опуса вот это: Самое большое число в мире, оно же - https://vombat.su/post/60955-samoe-bolshoe-chislo-v-mire

Собсвтенно говоря, начиная с первого класса и заканчивая шестым курсом института, мне казалось, что я неплохо понимаю в математике, все таки меньше пятерки у меня за все эти годы не было ни разу.

Я бы даже больше сказал: школу я закончил в 1975 году, а в институт поступил только в 1981 - просто не хотелось до этого, да и тогда не то что слишком уж захотелось - скорее, стало скучно...

И к экзаменам не готовился, и на математике мне попалась теорема не то синусов, не то косинусов, которую я не помнил совсем - помню, что что-то в треугольнике со сторонами и углами.

В результате пришлось ее сначала вывести по воспоминаниям, а потом - доказать. Экзаменатор, он же тогда - замдекана кафедры вышки, кажется, долго рассматривал мое доказательство, но придраться было не к чему.

Так я получил первую пятерку по математике в институте...

Но это я немного отвлекся.

Читаю всякую хрень, к математике отношения не имеющую, и вдруг там ГГ попадает на школьную олимпиаду по математике.

Стоит заметить, что я в олимпиадах не участвовал, их у нас в принципе не было, и я о них даже не слышал.

И были там приведены две задачки, для школьников, блин, и тут я понял, что не все у меня хорошо было с математикой...

Нет, вторая задачка была простая: имеется циферблат, как положено - стрелок две: часовая и минутная, но вот беда - они одинаковые.

Только ходят по "часовым" правилам.

И вопрос: сколько существует положений стрелок на  обычном, двенадцатичасовом циферблате, что нельзя однозначно определить время.

Ну, тут достаточно все просто, и, хоть там ответа не было, найти его - дело трех минут. Ну, старый уже, мозги плесневелые, в школьные времена быстрее бы нашел.

А вот первая задачка - я даже не уверен, что и в школьные времена решил бы, но хорошо, что там и решение было, хоть и намеками.

Короче: имеем сферу, 12% поверхности сферы закрашено черным цветом, требуется доказать, что существует такой, вписанный в данную сферу, прямоугольный параллелепипед, все вершины которого попадают на незакрашенную часть поверхности.

И вот эту задачку, если бы не подсказка - хрен бы я решил, мозги не те.

Да и в школьные годы, скорее всего, не решил бы - уж слишком непривычный метод, хотя и не выходящий за пределы знаний средней школы...

Даже не знаю - стоит ли решение приводить?

Ведь вомбатоматематикам неинтересно будет... :))

Подрабатываю репетитором.

Всем добрый день! Неожиданно стало поступать на почту множество просьб, вопросов и пожеланий по поводу моих архивов с учебниками, которые я выкладывал ранее. Я решил, что полезно еще раз собрать все вместе и выложить с рабочими ссылками.
Стало быть, поехали.

1. Математика для Пикабу - 242 МБ.
В этом архиве содержится минимум, необходимый для изучения математики в школе с 5 по 11 класс. Чтобы можно было разобраться в этом, специально поместил рабочие программы, в которых описаны все изучаемые школьниками темы с разбивкой по времени. Эти темы приблизительно распространяются на все школы России. Серьезные отличия будут только в мощных лицеях со своей программой или в случае своеобразного учителя. В остальных случаях все стабильно.

При изучении геометрии особенно рекомендую обратить внимание на задачник Балаяна. Там много простых примеров чисто для отработки теорем.

В качестве учебника по геометрии предлагаю Атанасяна.

С алгеброй проблемы начинаются прямо с 7 класса, поэтому именно с этого момента нужно контролировать ученика. Для этого предлагаю учебники Миндюка. Для дополнительного нарешивания примеров рекомендую МИФИ-шные сборники. Там очень много примеров и половина из них неординарны.

Вишенками на торте являются Сканави и Звавич. Эти книги уже для продвинутых ребят, которым стандартные задания наскучили. Сканави - если хочется много зубодробительных примеров. Звавич - если хочется побольше узнать.

2. Физика для Пикабу - 402 МБ.
В этом архиве содержится минимум, необходимый для изучения физики в школе с 7 по 11 класс.

В первую очередь в физике обратите внимание на математику - 99% ребят в 7-8-9 классах не могут решать задачи по физике именно из-за слабых знаний в математике. Ученик должен свободно решать любые линейные и квадратные уравнения, уметь пользоваться калькулятором и прочее.

Самостоятельное изучение рекомендую строить так:
а. Теорию разбираем по видео Павла Виктор, читая параллельно Перышкина. Павел Андреевич объясняет просто замечательно и крайне удобно выстраивает программу именно по Перышкину. В 10-11 классе аналогично, но параллельно читаем Мякишева. Сборники с названиями для продвинутых ребят, сборники база-10 и база-11 для самого минимума знаний.

б. Задачи нарешиваем по сборникам Кирика - там много простых примеров и все удобно разбито на классы. Когда немного освоились в теме, то обязательно рекомендую посмотреть еще и задачник Черноуцана. Задачи там более сложные, но это даже хорошо. Есть много разобранных примеров прямо в книге. Также почти все задачи решены в Интернете. Качество этих решений, правда, не всегда на высоте.

Если все делать честно, то в таком режиме работы любая тема станет доступной для понимания.

Замечу, что здесь я выложил самый минимум по этим предметам, необходимый для того, чтобы просто держаться на плаву в школе. Подготовка к ЕГЭ и олимпиады - тема абсолютно отдельная. Хотя если честно учить физику в школе, то даже без отдельной подготовки ЕГЭ по физике на 70+ сдать достаточно легко. С математикой сложнее.

И напомню, что в своем телеграм-канале я выкладываю видосы с разборами некоторых важных тем. На данный момент там скопилось несколько десятков видео по физике и математике. С сентября планирую запустить цикл видео, направленных именно на подготовку к ЕГЭ. Желающие всех стран - присоединяйтесь!

P.S. По всем вопросам - alexjuriev3142@gmail.com.

P.P.S. А Пикабу, однако, сильно изменился...

Теоретически квантовая физика может обойти сложные математические проблемы, лежащие в основе современного шифрования. Новое доказательство показывает, как это сделать.

Сложные задачи обычно не вызывают особого энтузиазма. Но криптографы их обожают. Ведь именно сложные математические задачи лежат в основе безопасности современного шифрования. Любой хитрый трюк для их решения погубит большинство форм криптографии.

Несколько лет назад исследователи нашли радикально новый подход к шифрованию , лишённый этого потенциально уязвимого места. Этот подход использует особенности квантовой физики. Но в отличие от более ранних схем квантового шифрования, которые работали лишь для некоторых специальных задач, новый подход способен решать гораздо более широкий круг задач. И он может сработать, даже если все проблемы, лежащие в основе обычной «классической» криптографии, окажутся легко решаемыми.

Однако это поразительное открытие основывалось на нереалистичных предположениях. Результат был «скорее подтверждением концепции», — сказал Ферми Ма , исследователь криптографии из Института теории вычислений Саймонса в Беркли, Калифорния. «Это не утверждение о реальном мире».

Новая статья двух криптографов предлагает путь к квантовой криптографии без этих нелепых предположений. «В этой статье утверждается, что если определённые другие гипотезы верны, то квантовая криптография должна существовать», — сказал Ма.

Небесный замок

Современную криптографию можно представить себе как башню, состоящую из трёх основных частей. Первая часть — это фундамент, находящийся глубоко под башней и состоящий из сложных математических задач. Вторая часть — это сама башня, в которой находятся специальные криптографические протоколы, позволяющие отправлять личные сообщения, подписывать цифровые документы, проводить тайное голосование и многое другое.

Между ними, защищая эти повседневные приложения от математических основ, находится фундамент из строительных блоков, называемых односторонними функциями . Они отвечают за асимметрию, присущую любой схеме шифрования. «Она односторонняя, потому что сообщения можно зашифровать, но нельзя расшифровать», — сказал Марк Жандри , криптограф из NTT Research.

В 1980-х годах исследователи доказали, что криптография, построенная на односторонних функциях, обеспечит безопасность для множества различных задач. Но спустя десятилетия они всё ещё не уверены, что её фундамент достаточно надёжен для этого. Проблема в том, что этот фундамент состоит из особых сложных задач, известных как NP-задачи, отличительной особенностью которых является лёгкость проверки корректности любого из возможных решений. (Например, разложение числа на простые множители — это NP-задача: её сложно решить для больших чисел, но легко проверить.)

Многие из этих задач кажутся изначально сложными, но учёные-компьютерщики не смогли этого доказать . Если кто-то откроет гениальный алгоритм для быстрого решения сложнейших NP-задач, фундамент рухнет, и вся башня рухнет.

К сожалению, вы не можете просто переместить башню в другое место. Фундамент башни — односторонние функции — может опираться только на фундамент из NP-задач.

Чтобы построить башню для решения более сложных задач, криптографам потребуется новый фундамент, не основанный на односторонних функциях. Это казалось невозможным до тех пор, пока несколько лет назад исследователи не поняли, что квантовая физика может помочь.

Всё началось с опубликованной в 2021 году статьи аспиранта Уильяма Кречмера , в которой он обратил внимание на странную проблему, связанную со свойствами квантовых систем. Вскоре исследователи показали, что проблема Кречмера может заменить односторонние функции и стать основой для новой башни криптографических протоколов . В следующем году Кречмер и другие доказали , что этот альтернативный подход может работать даже без сложных NP-задач. Внезапно показалось, что можно построить гораздо более прочную криптографическую крепость.

Но где его построить? Квантовая проблема, которую Кречмер взял за основу, включала гипотетические вычислительные устройства, называемые оракулами , которые могут мгновенно отвечать на конкретные вопросы. Оракулы могут быть полезными теоретическими инструментами, но на самом деле их не существует. Доказательства Кречмера были подобны чертежу для строительства воздушного замка. Можно ли было спустить его на землю?

Второе Основание

Осенью 2022 года этот вопрос привлёк внимание Дакшиты Кураны , криптографа из Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне и исследовательской компании NTT. Курана и её аспирант Кабир Томер решили построить новую башню криптографии. Первым шагом Кураны было создание нового фундамента с использованием квантовых строительных блоков вместо классических односторонних функций. Затем ей нужно было доказать, что этот новый фундамент может поддерживать башню из других криптографических протоколов. Как только она докажет, что фундамент может поддерживать башню, ей нужно будет найти прочное основание для всего этого — основу из реальных задач, которые кажутся даже сложнее, чем задачи NP, используемые в классической криптографии.

На первом этапе Хурана и Томер сосредоточились на квантовой версии односторонней функции, называемой односторонним генератором состояний , которая удовлетворяет трём свойствам, делающим односторонние функции полезными. Во-первых, функция должна выполняться быстро, чтобы можно было легко сгенерировать криптографический замок и соответствующий ключ для его открытия для каждого отправляемого сообщения. Во-вторых, каждый замок должен быть надёжным, и для его взлома без подходящего ключа потребуется немало усилий. Наконец, каждый замок должен легко открываться подходящим ключом.

Ключевое отличие заключалось в природе замков. Классические односторонние функции генерируют математические замки, состоящие из битов — нулей и единиц, которые хранят информацию в классическом компьютере. Квантовые генераторы односторонних состояний, напротив, генерируют замки, состоящие из единиц квантовой информации, называемых кубитами. Эти квантовые замки потенциально могут оставаться надёжными, даже если все классические замки легко взломать. Курана и Томер надеялись начать с этого нового квантового фундамента и построить на нём башню криптографических протоколов. «Это оказалось довольно сложно», — сказал Курана. «Мы застряли на много-много месяцев».

К июлю 2023 года Хурана была почти на девятом месяце беременности и планировала отпуск по уходу за ребёнком. У Томера не было никаких идей. «Я настроен гораздо более пессимистично, чем Дакшита», — сказал он. «Она всегда верит, что всё получится».

Затем они совершили прорыв. Решающим шагом стало определение ещё одного математического строительного блока, который служил чем-то вроде подвального этажа: структуры, которая соединила бы фундамент односторонних генераторов состояний с башней криптографических протоколов. Когда Курана и Томер выяснили, какими свойствами должен обладать этот строительный блок, они обнаружили, что он напоминает одностороннюю функцию с запутанной смесью квантовых и классических характеристик. Как и в обычной односторонней функции, и замки, и ключи были сделаны из классических битов, но процедура генерации этих замков и ключей могла работать только на квантовом компьютере. Что ещё более странно, новый строительный блок удовлетворял первым двум определяющим свойствам односторонних функций, но не третьему: было легко генерировать замки и ключи, и любой замок было трудно взломать. Но ключ не мог легко открыть свой замок.

Хурана и Томер назвали эти запутанные новые строительные блоки односторонними головоломками. Интуитивно сложно представить, чем они могут быть полезны: какой смысл в ключе, которым никогда не воспользуешься? Но два криптографа показали, что односторонние головоломки в сочетании с другими квантовыми трюками фактически позволили бы создать множество криптографических протоколов . Если можно создавать замки и ключи, которые в принципе подходят друг другу, неважно, насколько неэффективна процедура разблокировки.

«Достаточно просто знать, что существует алгоритм, который может быть сколь угодно медленным», — сказал Кречмер, ныне работающий исследователем в Институте Саймонса. «Это очень удивительно».

Установив недостающую часть на место, они быстро закончили доказательство 4 августа. Дочь Кураны родилась всего через несколько дней.

Установив недостающую часть на место, они быстро закончили доказательство 4 августа. Дочь Кураны родилась всего через несколько дней.

Постоянная запись

К ноябрю Курана вернулась к работе и была готова приступить ко второй фазе своего плана. Они с Томером показали, что многие виды криптографии могут быть построены на односторонних головоломках, а односторонние головоломки, в свою очередь, могут быть построены на новом квантовом фундаменте, созданном генераторами односторонних состояний. Следующим шагом в их первоначальном плане было связать этот квантовый фундамент с новой основой — некоторым относительно неуязвимым набором математических задач, ещё более трудноразрешимых, чем задачи из класса NP.

Но когда Хурана и Томер взялись за решение этой задачи, они решили использовать более прямой подход: забыть о генераторах односторонних состояний и вместо этого привязать односторонние головоломки непосредственно к математической основе.

С одной стороны, это казалось странным выбором. Односторонние головоломки — это математические диковинки, которые Хурана и Томер использовали на промежуточном этапе своего доказательства.

Однако у односторонних головоломок есть некоторые преимущества. Во-первых, хотя они и квантовые, замки и ключи, которые они генерируют, классические. Курана считал, что это может облегчить их связь с фундаментом классической математики. Кроме того, односторонние головоломки генерируют ключи, которые слишком громоздки, чтобы открывать замки. Это может облегчить их связь с настолько сложными задачами, что даже проверка решений кажется безнадежно сложной.

Но какие именно задачи подошли бы? У Хураны был на примете кандидат: вычисление определённой комбинации элементов в таблице чисел, называемой матрицей. Эта задача, известная как задача о перманенте матрицы, чрезвычайно сложна для больших матриц, и не существует простого способа проверить правильность вычисления. Задача о перманенте матрицы обладает и другими особыми математическими свойствами, которые привлекают криптографов.

«Это была бы прекрасная задача, на которой можно было бы построить криптографию», — сказал Курана.

Проблема перманентности матрицы также связана с другой проблемой, которую квантовые компьютеры могут легко решить, но классические, по-видимому, не могут . Исследователи работают над доказательством этого преимущества квантовых вычислений в точном теоретическом смысле. Курана и Томер показали, что такое доказательство также позволит им строить безопасные односторонние головоломки — и, следовательно, всю башню квантовой криптографии — поверх проблемы перманентности.

«Им удалось сделать это, основываясь на хорошо изученных предположениях», — сказал Кречмер. «Я был очень рад это увидеть».

Благодаря своему новому результату Хурана и Томер фактически свели две открытые проблемы к одной. Если исследователи докажут, что квантовые компьютеры действительно превосходят классические в решении конкретной задачи, это автоматически придаст квантовой криптографии гораздо более прочную теоретическую основу, чем практически любой вид классической криптографии.

Увы, в ближайшее время вы не сможете использовать новый подход Хураны и Томера для отправки секретных сообщений. Несмотря на недавний прогресс , технология квантовых вычислений пока недостаточно развита, чтобы реализовать их идеи на практике. Тем временем другие исследователи разработали методы квантовой криптографии, которые могут быть использованы раньше , хотя потребуется ещё немало исследований, чтобы доказать их действительную безопасность.

Квантовая криптография уже преподнесла немало сюрпризов, и исследователи лишь недавно начали изучать её возможности. «Мы просто пытаемся понять этот новый ландшафт, который действительно существовал всё это время», — сказал Жандри.

Источник: www.wired.com

  Альберт Эйнштейн говорил: «У меня нет особого таланта. Я просто страсть как любопытен». По мнению математика Давида Бессиса, слишком мало людей воспринимает эти слова всерьез. В книге «Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики» (издательство «Альпина Паблишер»), переведенной на русский язык Екатериной Поляковой, он рассказывает, как можно разобраться в математике, а также демонстрирует, что она может не только запутывать, но и объяснять. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом о том, как быстро посчитать сумму целых чисел от 1 до 100 и какие выводы можно извлечь из решения этой задачи.  

Нет никакой хитрости

Обычный день в США начала 1950-х годов. Обычная семья едет по обычной дороге. Отец за рулем, двое сыновей сидят на заднем сиденье. Чтобы они не ссорились, отец задает им задачи: «Какова сумма целых чисел от 1 до 100?»

Младшему из братьев пять лет. Через несколько секунд он отвечает: «5000». Отец говорит, что это почти правильно. Мальчик думает еще несколько секунд и дает правильный ответ: «5050».

Этот пятилетний мальчик — Билл Тёрстон. История про него вызывает улыбку у тех, кто видит в ней повторение известного случая с Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855), «королем математики». Пусть даже эта старая история — просто легенда, но она широко известна, и отец Тёрстона, несомненно, о ней слышал.

Гаусс был одним из величайших математиков в истории, одним из тех, кого не колеблясь ставят рядом с Фалесом, Пифагором, Евклидом, Архимедом, Аль-Хорезми, Декартом, Эйлером, Ньютоном, Лейбницем, Риманом, Кантором, Пуанкаре, фон Нейманом, Гротендиком и еще несколькими. Он был настолько блистателен и обладал таким творческим потенциалом, что современники отказывались верить, что его интеллект порожден биологически нормальным человеческим мозгом. В некотором роде он был Альбертом Эйнштейном своего времени.

И закончилось все, кстати, ровно так, как и должно было (абсолютно как с Эйнштейном): когда Гаусс умер, кто-то счел весьма хитроумным изъять его мозг в надежде проникнуть в его секреты. Два века спустя мозг Гаусса так и лежит в банке, бережно хранимый в запасниках Гёттингенского университета. Никто не нашел в нем ничего интересного.

Согласно легенде, в возрасте семи лет маленький Гаусс очень напугал своего школьного учителя. Тот задал классу вычислить сумму целых чисел от 1 до 100, полагая, что так подарит себе добрых 25 минут тишины. Он не предусмотрел, что один из мальчишек ответит через несколько секунд.

Мне было 17 лет, когда преподаватель математики нашего выпускного класса рассказал эту историю, и она сильно впечатлила нас. Мы не понимали, как Гаусс мог посчитать настолько быстро. По сравнению с таким гением мы все чувствовали себя несколько жалко.

Объяснение нашего преподавателя заключалась в том, что здесь есть «хитрость». Мы хотим посчитать сумму целых чисел от 1 до 100, то есть выполнить сложение

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100.

Хитрость в том, чтобы умножить эту сумму вдвое, дважды посчитав каждое целое число от 1 до 100, и выстроить эту двойную сумму в две строки следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 + 100 + 99 + 98 + 97 + ... + 4 + 3 + 2 + 1.

Что за ерунда! Зачем считать эту сумму дважды? Зачем так выстраивать числа? Может, это и странно, но мы в полном праве так сделать. В любом случае каждое число от 1 до 100 появляется здесь дважды. Значит, двойная сумма в два раза больше числа, которое мы хотим найти.

А теперь посмотрите не на строки, а на столбцы. У нас 100 столбцов, и в каждом из них по два числа, сумма которых всегда равна 101. Это может показаться волшебством, но это так. Значит, двойная сумма равна 100 умножить на 101, то есть 10 100. Нужное нам число — половина от этого, то есть 5050.

Не надо стыдиться, если вам понадобится перечитать это рассуждение несколько раз, прежде чем счесть его убедительным. Как и в любом математическом рассуждении, в нем есть что-то странное и пугающее. Пока нам не удается счесть его очевидным, приходится расшифровывать его строчка за строчкой, что требует времени и концентрации.

Этапы рассуждения довольно просты и, по идее, позволят вам прийти к трем выводам.

1. Это верное доказательство факта, что сумма целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
2. Вполне правдоподобно, что кто-то искусный в устном счете может выполнить это рассуждение мысленно за несколько секунд.
3. Такая мысль не могла зародиться в голове семилетнего или, в случае Тёрстона, пятилетнего ребенка.

Во всяком случае такие выводы в 17 лет сделал я сам.

Я также заключил, что математика создана не для меня, потому что она предназначена только для этих особых людей, гениев, у которых мозг работает не так, как мой, и может генерировать столь невероятные идеи.

Преподаватель в моем выпускном классе был прекрасным педагогом, я высоко его ценил, и он научил меня очень многому. Но, говоря нам о «хитрости», в тот день он оказал нам плохую услугу.

Нет никакой хитрости. Не было и не будет. Верить в существование хитростей так же токсично, как верить в существование истин, по природе своей контринтуитивных. Это два главных предрассудка в идеологии Системы 2 — вот эта вера, что наша интуиция ничего не стоит и мы должны механически применять методы, которых не понимаем.

Разумеется, бывает так, что что-то происходит и мы не понимаем почему. И даже довольно часто. Но это всегда временная ситуация, которая ждет объяснения.

Верить, что на структурном уровне существуют какие-то хитрости, — значит согласиться с мыслью, что есть вещи, которых мы никогда не поймем, и их нужно выучить на изусть. Путать проверку доказательства строчка за строчкой с его интуитивным пониманием. Вступить в подчиненные отношения с Системой 2. Согласиться на нечестное и унизительное для нас распределение ролей: великие гении находят всякие хитрости, а вот мы годны только на то, чтобы проверить, что сложение верно.

Если все это только для того, чтобы проверить, что сумма целых чисел от 1 до 100 действительно равна 5050, — да плевать на это, откровенно говоря. Нам важно научиться думать как Гаусс и Тёрстон.

Ловушка языка

Чтобы понять, что скрывается за математическими «хитростями», проще всего посмотреть на рецепт бананового кекса, например такой:

Ингредиенты: 4 банана, 4 яйца, 250 грамм муки, 180 грамм сливочного масла, 120 грамм сахара, 1 пакетик ванильного сахара, 1 пакетик разрыхлителя.

1. Разомните бананы вилкой в тарелке и отставьте в сторону.
2. Тщательно перемешайте яйца с сахаром, добавьте муку, затем масло, разрыхлитель и ванильный сахар.
3. Добавьте в смесь бананы.
4. Выпекайте в разогретой до 180 градусов духовке 40–50 минут.

Представьте себе разные этапы рецепта.

• Сначала вы идете в магазин за бананами. Вот они у вас в руке. Вы идете платить на кассу. Видите бананы?
• Вы начинаете этап 1. Теперь бананы в тарелке. У вас в руке вилка, вы собираетесь их размять. Все еще видите бананы?

Между этими двумя этапами вы сменили мысленный образ. Перед тем как разминать бананы, вы мысленно очистили их. За так называемыми хитростями обычно кроется нечто подобное: смена мысленного образа, которая происходит в одно мгновение по «очевидным» причинам, неочевидным для остальных.

Когда хорошо знаком с бананами, очевидно, что их нужно очистить, прежде чем разминать. Если никогда не держал бананы в руках — это перестает быть очевидным. Текст рецептов никогда не охватывает абсолютно все необходимые действия. Всегда не хватает каких-то важных деталей, тех самых пресловутых «хитростей». Вот почему так много людей предпочитают смотреть кулинарные видео, а не читать рецепты.

Бананы знакомы вам с детства. Можно даже сказать, вы с ними в близкой дружбе. Вы изучили их так, чтобы не нуждаться в языке для их описания. Вы знаете о них кучу подробностей, о которых никогда никому не рассказывали. Вам досконально знакомо волокно, проходящее вдоль их мякоти, пусть даже вы не знаете его названия. Это волокно ни разу ни для чего вам не пригодилось, но поразило вас своим видом и свойствами. Еще вы знаете — и ни разу не осмелились в этом признаться, — что ничто на земле не разламывается так мягко и приятно, как мякоть банана. Слово «банан» вызывает у вас не просто мысленный образ, а множество возможных мысленных образов. И вы моментально, без усилий и указаний со стороны, всегда выбираете нужный. Разминать бананы, не очистив их, настолько глупо, что это забавляет вас. Это из серии тех дурацких штук, которые могут проделать только роботы.

Когда Гаусс или Тёрстон хотят сложить целые числа от 1 до 100, они выбирают нужный способ представить эти числа — тот, который облегчит вычисление. Они находят его моментально, без усилий и указаний со стороны. Они умеют активировать свое знание чисел так же, как вы умеете активировать свое знание бананов. Речь идет об одной и той же форме интеллекта.

В математике свершение чуда или возникновение идеи ниоткуда — всегда знак, что вам не хватает какого-то образа. Ваш способ видеть вещи неверен или неполон, и есть вариант лучше, проще и яснее, которого вы еще не знаете, а может быть, и никто не знает. Искать и найти этот правильный способ видеть — вот сама суть математической деятельности. Это основной источник удовольствия от нее.

Каждый раз, когда вам говорят о хитростях, вам приказывают перестать размышлять как раз в тот момент, когда начинается самое интересное.

Ирония здесь в том, что в то время, когда вы завязали близкую дружбу с бананами — в ту далекую пору вашего детства, — вы также завязали близкую дружбу с числами. Именно такая степень близости позволила вам научиться считать.

Эту дружескую связь с числами вы потеряли. Подрастая, вы угодили в то, что я называю ловушкой языка, и именно она мешает вам «увидеть» сумму целых чисел от 1 до 100 так же, как Гаусс и Тёрстон.

Ловушка языка — это убеждение, что достаточно назвать вещи, чтобы они начали существовать, избавив нас от необходимости по-настоящему воображать их.

Это убеждение — типичное проявление идеологии Системы 2. Нам рассказывают, что мы думаем именно словами и ни к чему пытаться выйти за их пределы. Это сжатое изложение весьма проблемно, оно граничит с ложью. Да, называние вещей позволяет упомянуть их, но не вызывает в сознании настолько яркие образы, чтобы можно было мыслить и творить.

«Не думайте о розовом слоне». Эта шутка очень веселит лингвистов, потому что в определенном смысле эта фраза вынуждает нас думать о розовом слоне. Только вот этот способ думать о розовых слонах пассивно, против воли, не поможет вам стать их близким другом и понять их по-настоящему. Постарайтесь представить розового слона в настоящую величину — прямо здесь, перед вами. Дайте себе время рассмотреть его и изучить вблизи. Этот намеренно вызванный образ будет неимоверно глубже, богаче и точнее, чем невнятная картинка, возникшая у вас в уме в начале этого абзаца. Когда вы разрешаете себе отпустить воображение на свободу, у него практически нет пределов.

Именно это усилие воображения позволяет выбраться из ловушки языка и решать математические задачи. Эта деятельность лежит в основе Системы 3. Она подразумевает свободное стремление увидеть, без оговорок и полумер, с полным физическим вовлечением.

Если, читая слова «сумма целых чисел от 1 до 100», вы удовлетворитесь невнятным образом, возникшим в вашем уме, вы ничего не увидите.

Не позволяйте словам убаюкать вас, заставьте себя подумать, что эта сумма физически присутствует перед вами. Заставьте себя вообразить целые числа от 1 до 100 из плоти и крови, воплощенные в реальном мире и смирно выстроившиеся перед вами. Если вам удастся их увидеть и вы дадите себе время как следует понаблюдать за ними, вы найдете способ вычислить их сумму.

Чтобы дать себе шанс догадаться самим, можете сделать перерыв, прежде чем продолжать читать.

Подробнее читайте:Бессис, Д. Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики / Давид Бессис ; Пер. с фр. [Екатерины Поляковой] — М. : Альпина Паблишер, 2024. — 346 с.

Источник:  nplus1.ru

Первый пост решил посвятить нику, потому что надоели - "о, судя по нику ты чурка?" (с) - комментаторы пикабу. В дальнейшем часть постов, если зайдёт, буду посвящать популистской математике. 

Сриниваса Рамануджан (родился в 1887 году) - гениальный индийский математик-самоучка. Он обладал абсолютно уникальным мышлением: не получив институтского образования, изучал математику по попавшему ему в 16 лет в руки двухтомнику Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», . В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений.

Юноша, не имевший ни доступа в ВУЗ, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. 

Как и большинство соплеменников, жил в нищете, работал клерком в порту. Однако начальник Рамануджана заметил его выдающиеся математические способности и посоветовал написать письмо в Академию наук. 

В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору Кембриджского университета Годфри Харди. В письме Рамануджан сообщал, что он не заканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в Англию. Однако с самого начала Туманный Альбион плохо встретил юного математика: после климата Индии постоянная сырость, холод привели к частым болезням.

Рамануджан чудом пережил Оспу, болел туберкулёзом, от которого в результате и умер в возрасте 32 лет.

В Кембридже Рамануджан был избран в члены Английского королевского общества и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.

В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана».

Позже Харди рассказал ныне известную историю о том, как однажды он посетил Рамануджана в больнице и сказал, что приехал на такси с номером 1729, и что ему кажется, что это довольно унылый номер, на что Рамануджан ответил: "Нет, это очень интересное число; это наименьшее число, представимое в виде суммы двух кубов двумя различными способами".

Так запомнилась мне история уникального математика, если кто заинтересуется (то цель данной короткой статьи выполнена) и захочет прочитать больше подробностей о нём - есть большая статья на Хабре, включающая его удивительные формулы и копии писем. 

Также рекомендую к просмотру биографический художественный фильм "Человек, который познал бесконечность" (2015г) 

Текст частично взят из открытых источников (вики, хабр) частично написан мной, ставлю тег "моё" (Своë?) 

Подрабатываю репетитором

Всех приветствую! В преддверии нового учебного года хочу раскрыть одну страшную тайну. Когда ко мне приходит ученик на физику, то я практически всегда начинаю обучение с... математики. По одной простой причине - чаще всего физика в 7-8 классе непонятна именно из-за отсутствия знаний в математике. Тогда даже простейшая формула станет настоящим ужасом. И в результате ничего не понятно в математике, ничего не понятно в физике, и ученик становится предпринимателем и уезжает на бентли теряется во всех подобных предметах. В этом посте, который создан по заказу трудящихся, я хочу показать, какие элементы математики не дают вашим детям (или вам самим) разбираться в физике.

Сразу предупреждаю - далее большая часть ссылок ведет на мой телеграм-канал, где мы разбираем физику и математику. Кстати, на данный момент мы начали подготовку к ЕГЭ по математике. Желающие - присоединяйтесь! Никакой рекламы и прочего.

7 класс и далее - линейные уравнения и системы линейных уравнений

Даже самая простая формула представляет из себя, по сути, простейшее линейное уравнение. Например, любой школьник знает, что потенциальная энергия определяется по формуле E = mgh, где m - масса, g - ускорение свободного падения, h - высота. И просто подставить числа и рассчитать энергию обычно могут все. А если, например, стоит задача определить высоту h при известной энергии E? На этом многие начинают теряться. Поэтому к началу 7 класса уже строго необходимо уметь решать линейные уравнения.
На картинке демонстрирую примеры уравнений, который должен уметь решать ученик. Можете проверить себя или ребенка.

Линейные уравнения, наверное, самый важный пункт в этой подборке, потому что именно он разделяет учеников на тех, кто может что-то решать в физике, и на тех, кто "физику никогда не понимал".

Также довольно быстро появятся системы линейных уравнений. Они возникают, когда в задачах дается несколько условий, приводящих к нескольким неизвестным сразу. Это уже математика более серьезного уровня, но тем не менее, умение решать системы потребуется уже осенью седьмого класса.

На картинке демонстрирую примеры систем уравнений, который должен уметь решать ученик. Необходимо владеть двумя методами - подстановкой (обязательно) и вычитанием/сложением уравнений (желательно).

Дарю лайфхак для родителей, которые уже триста лет назад забыли математику, а уроки как-то делать надо. Приложение Photomath позволяет фотографировать любые уравнения и неравенства и решает их. Warning! Приложение часто очень глупо решает задания, поэтому рекомендую его использовать только как источник ответов.

7 класс и далее - единицы измерения
Вы удивитесь, но довольно часто попадаются ученики, которые не знают вполне себе жизненные вещи. Например, что в килограмме 1000 грамм, или что вода кипит при 100 градусах и замерзает при 0 градусах, или что в сильном взаимодействуют участвуют глюоны. Элементарных вещей не знаютъ, короче!
Поэтому когда на физике возникает строгая необходимость лавировать между граммами, килограммами, центнерами и тоннами в массе и всякими кубическими миллиметрами и литрами в объеме, то многие, опять же, теряются.
Задача простая - уже к октябрю 7 класса полезно уметь аргументированно отвечать на вопрос - сколько квадратных дециметров в квадратном метре?
И, конечно же, полезно разобраться в СИ и привыкать измерять длину в метрах и массу в килограммах. Вот здесь прилагаю практикум по этому всему.

Помните, что уравнения и единицы измерения - это некая оболочка к задаче, это еще даже не физика. Однако это те умения, без которых не решить практически ни одной задачи.

Дополнительно рекомендую ознакомиться с методом размерностей. Простая, но полезная и действенная штука, позволяющая более свободно обращаться с формулами и понимать их построение.

7 класс и далее - умение пользоваться калькулятором
По большей части в физике нет строгой необходимости уметь производить операции с числами и дробями, поскольку всегда под рукой калькулятор (но вообще это уметь, конечно, нужно). Но даже и с калькулятором, как не прискорбно, многие не могут совладать. Два на два умножить могут, а вот какие-то более крупные выражения - сложно.
Задача, опять же, простая - научиться вычислять выражения, как на картинке, не более, чем за 1 минуту. Выражения нужно научиться полностью вводить в калькулятор, а не считать их по одному действию.
Особое внимание стоит обратить на правильность расстановки скобок - учащийся должен понимать, что числитель и знаменатель нужно перед делением выделять скобками, хотя их и нет в примере.

В качестве хорошего калькулятора для телефона крайне рекомендую приложение от Matlab - Инженерный калькулятор. Очень удобная штука. Ссылка на гугл плэй без vpn не откроется, просто покажу иконку.


8 класс и далее - Квадратные уравнения
Квадратные уравнения появляются в 8 классе на математике. Обычно хорошие учителя стараются этой возможностью воспользоваться и дают детям задачи, в которых эти уравнения будут фигурировать. Но далеко не всегда, и в целом можно выжить без умения их решать.

А вот в девятом классе прям засада. Первая же тема в физике - кинематика - сразу заставляет ученика использовать уравнение координаты x(t) = x0 + V0*t + a*t^2/2, которое моментально приводит к квадратным уравнениям. Так что в девятом классе прям с порога без квадратных уравнений - никак. На картинке демонстрирую примеры уравнений, которые должен свободно решать ученик.

Также для полных квадратных уравнений (как третье на картинке) крайне рекомендую освоить обратную теорему Виета. Обычно ученики на упоминание этого имени отвечают, что теорему эту знают, но не любят. Помните, такой ответ значит одно - теоремой Виета их пользоваться не научили.

9 класс и далее - Азы тригонометрии

Девятый класс вообще какой-то несчастливый. Только научились решать квадратные уравнения - тут новая засада! Векторы. Да еще оказывается, что для работы с векторами нужно делать какие-то там проекции, а для этого нужно знать синусы-косинусы... В общем, тьма.

В кинематике и динамике (9 класс, осень) достаточно быстро появятся задачи, в которых приходится использовать тригонометрию. Не говоря уже о том, что применение тригонометрических функций вообще крайне мощный инструмент как в математике, так и в физике.
Пример на картинке. Задание простое - определить с помощью тригонометрической функции значение катета AB. Ну, и знать, конечно же, определение всяких там тангенсов-котангенсов и их значение в табличных углах.

Это, конечно же, далеко не вся математика, но эта подборка представляет собой базу, которая не дает ребятам со слабой математикой продвигаться в физике. Обратите в первую очередь внимание на нее.

Поздравляю всех с новым учебным годом! Всем дочитавшим - спасибо и спасибо!

P.S. По всем вопросам - Alexjuriev3142@gmail.com